高数复习大纲同济六版下册

1、向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量的模向量的大小叫做向量的模向量a、a、AB的模分别记为|a|、||a、||AB单位向量模等于1的向量叫做单位向量零向量模等于0的向量叫做零向量记作0或0零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a与b平行记作a//b零向量认为是与任何向量都平行向量运算(向量积)；1．向量的加法2.向量的减法3．向量与数的乘法设a(axayaz)b(bxbybz)即aaxiayjazkbbxibyjbzk则ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k(axbxaybyazbz)ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k(axbxaybyazbz)a(axiayjazk)(ax)i(ay)j(az)k(axayaz)向量模的坐标表示式222||zyxr点A与点B间的距离为212212212)()()(||||zzyyxxABAB向量的方向：向量a与b的夹角当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与b的夹角记作^),(ba或^),(ab如果向量a与b中有一个是零向量规定它们的夹角可以在0与之间任意取值类似地可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角数量积对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即a·b|a||b|cos数量积与投影由于|b|cos|b|cos(a^b)当a0时|b|cos(a^b)是向量b在向量a的方向上的投影于是a·b|a|Prjab同理当b0时a·b|b|Prjba数量积的性质(1)a·a|a|2(2)对于两个非零向量a、b如果a·b0则ab反之如果ab则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直则aba·b0两向量夹角的余弦的坐标表示设(a^b)则当a0、b0时有222222||||coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出c的模|c||a||b|sin其中为a与bc的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b来确定那么向量c叫做向量a与b的向量积记作ab即cab坐标表示zyxzyxbbbaaakjibaaybziazbxjaxbykaybxkaxbzjazbyi(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k向量的方向余弦设r(xyz)则x|r|cosy|r|cosz|r|coscos、cos、cos称为向量r的方向余弦||cosrx||cosry||cosrz从而rerr||1)cos,cos,(cos向量的投影向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定u轴任给向量r作rOM再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M(点M叫作点M在u轴上的投影)则向量MO称为向量r在u轴上的分向量设eMO则数称为向量r在u轴上的投影记作Prjur或(r)u按此定义向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标axayaz就是a在三条坐标轴上的投影即axPrjxaayPrjyaazPrjza投影的性质性质1(a)u|a|cos(即Prjua|a|cos)其中为向量与u轴的夹角性质2(ab)u(a)u(b)u(即Prju(ab)PrjuaPrjub)性质3(a)u(a)u(即Prju(a)Prjua)空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；(1)椭圆锥面由方程22222zbyax所表示的曲面称为椭圆锥面(2)椭球面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面(3)单叶双曲面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为单叶双曲面(4)双叶双曲面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为双叶双曲面(5)椭圆抛物面由方程zbyax2222所表示的曲面称为椭圆抛物面(6)双曲抛物面由方程zbyax2222所表示的曲面称为双曲抛物面椭圆柱面12222byax双曲柱面12222byax抛物柱面ayx2直线方程(参数方程和投影方程)空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面1和2的交线如果两个相交平面1和2的方程分别为A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程即应满足方程组0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线的方向向量容易知道直线上任一向量都平行于该直线的方向向量确定直线的条件当直线L上一点M0(x0y0x0)和它的一方向向量s(mnp)为已知时直线L的位置就完全确定了直线方程的确定已知直线L通过点M0(x0y0x0)且直线的方向向量为s(mnp)求直线L的方程设M(xyz)在直线L上的任一点那么(xx0yy0zz0)//s从而有pzznyymxx000这就是直线L的方程叫做直线的对称式方程或点向式方程ptzzntyymtxx000直线L1和L2的夹角可由|),cos(|cos2^1ss222222212121212121||pnmpnmppnnmm直线与平面的夹角设直线的方向向量s(mnp)平面的法线向量为n(ABC)直线与平面的夹角为那么|),(2|^ns因此|),cos(|sin^ns按两向量夹角余弦的坐标表示式有222222||sinpnmCBACpBnAm平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示AxByCzD0其中xyz的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标即n(ABC)提示D0平面过原点n(0BC)法线向量垂直于x轴平面平行于x轴n(A0C)法线向量垂直于y轴平面平行于y轴n(AB0)法线向量垂直于z轴平面平行于z轴n(00C)法线向量垂直于x轴和y轴平面平行于xOy平面n(A00)法线向量垂直于y轴和z轴平面平行于yOz平面n(0B0)法线向量垂直于x轴和z轴平面平行于zOx平面截距式；平面夹角和距离两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n1(A1B1C1)和n2(A2B2C2)那么平面1和2的夹角应是),(2^1nn和),(),(2^12^1nnnn两者中的锐角因此|),cos(|cos2^1nn按两向量夹角余弦的坐标表示式平面1和2的夹角可由2222222121212121212^1|||),cos(|cosCBACBACCBBAAnn来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面1和2垂直相当于A1A2B1B2C1C20平面1和2平行或重合相当于212121CCBBAA空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线设F(xyz)0和G(xyz)0是两个曲面方程它们的交线为C因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程所以应满足方程组0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的参数方程（33）空间曲线C的方程除了一般方程之外也可以用参数形式表示只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数)()()(tzztyytxx当给定tt1时就得到C上的一个点(x1y1z1)随着t的变动便得曲线C上的全部点方程组(2)叫做空间曲线的参数方程切平面和切线：切线与法平面；设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(tztytx曲线在点),,(000zyxM处的切线方程为)(00txx=.)()(0000tzztyy向量)}('),('),('{000tttT就是曲线Г在点M处的一个切向量法平面的方程为0))(('))(('))(('000000zztyytxxt切平面与法线隐式给出曲面方程((,,)0Fxyz)法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000zyxFzzyxFzyxFnyx切平面的方程是))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程是.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx),(yxz在点),(00yx如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff2、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解偏微分全微分：如果三元函数),,(zyxu可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，du=xudx+yudy＋zudz第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分fxydD(,)的计算问题。讨论中,我们假定fxy(,)0；假定积分区域D可用不等式axbxyx12()()表示,其中1()x,2()x在[,]ab上连续。据二重积分的几何意义可知,fxydD(,)的值等于以D为底,以曲面zfxy(,)为顶的曲顶柱体的体积。在区间[,]ab上任意取定一个点x0,作平行于yoz面的平面xx0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]1020xx为底,曲线zfxy(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为Axfxydyxx()(,)()()001020一般地,过区间[,]ab上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为Axfxydyxx()(,)()()12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为VAxadxfxydydxbxxab()(,)()()12从而有dxdyyxfdyxfbaxxD)(2)(1),(),((1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,),(yxf只看作y的函数,对),(yxf计算从)(1x到)(2x的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数)再对x从a到b计算定积分。这个先对y,后对x的二次积分也常记作fxyddxfxydyDabxx(,)(,)()()12重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型(或II型)区域,用平行于y轴(x轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多