实变函数引论参考答案-曹怀信-陕师大版第一到第四章

1习题1.11．证明下列集合等式．(1)；(2)CBCACBA\\\；(3)CABACBA\\\．证明(1))()C\B(cCBAA)()(ccCBAABAcCABA)()()(\)(CABA.(2)cCBAA)(C\B)()()(ccCBCA=)\()\(CACA.(3))(\C)\(B\cCBAAccCBA)()(CBAc)()(CABAc)()\(CABA.2．证明下列命题．(1)ABBA\的充分必要条件是：AB；(2)ABBA\的充分必要条件是：BAØ；(3)BBABBA\\的充分必要条件是：BØ．证明(1)ABABBBABBABBAcc)()()()\(的充要[条是：.AB(2)ccccBABBBABBABBA)()()(\)(必要性.设ABBA\)(成立，则ABAc,于是有cBA,可得.BA反之若,BA取BAx,则BxAx且,那么BxAx且与cBA矛盾.充分性.假设BA成立,则cBA,于是有ABAc,即.\)(ABBA(3)必要性.假设BBABBA\)()\(,即.\cCABABA若,B取,Bx则,cBx于是,cBAx但,BAx与cCABA矛盾.2充分性.假设B成立,显然BABA\成立,即BBABBA\)()\(.3．证明定理1.1.6．定理1.1.6(1)如果nA是渐张集列,即),1(1nAAnn则nA收敛且1;limnnnnAA(2)如果nA是渐缩集列,即),1(1nAAnn则nA收敛且1.limnnnnAA证明(1)设),1(1nAAnn则对任意1,nnAx存在N使得,NAx从而),(NnAxN所以,limnnAx则.lim1nnnnAA又因为1,limlimnnnnnnAAA由此可见nA收敛且1;limnnnnAA(2)当)1(1nAAnn时,对于,limnnAx存在)1(1knnkk使得),1(kAxkn于是对于任意的,1n存在0k使得nnk0,从而,0nnAAxk可见.lim1nnnnAA又因为,limlim1nnnnnnAAA所以可知nA收敛且1.limnnnnAA4．设f是定义于集合E上的实值函数，c为任意实数，证明：(1)ncfEcfEn1][1；(2)ncfEcfEn1][1；(3)若))(()(limExxfxfnn，则对任意实数c有kcfEkcfEcfEnnknNnNk1lim1][111．证明(1)对任意的,cfEx有,)(cxf则存在Zn使得ncxf1)(成立.即,1ncfEx那么.11nncfEx故;11nncfEcfE另一方面,若,11nncfEx则存在Zn0使得,110nncfEx于是cncxf01)(,故cfEx.则有.11nncfEcfE(2)设cfEx,则cxf)(,从而对任意的Zn,都有ncxf1)(,于是11nncfEx,故有;11nncfEcfE另一方面,设11nncfEx,则对于任意的Zn,有ncxf1)(,由n的任意性,可知cxf)(,即cfEx,故11nncfEcfE.(3)设cfEx,则cxf)(.由),)(()(limExxfxfnn可得对于任意的Zk,存在N使得)(1|)()(|Nnkxfxfn,即)1(11)()(kkckxfxfn,即kcxfn1)(,故)1(1limkkcfExnn,所以11limknnkcfEx,故11limknnkcfEcfE；另一方面,设101limknnkcfEx,则对任意Zk有kcfExnn1lim0.由下极限的定义知：存在1N使得当1Nn时,有)(10ZkkcfExn,即对任意Zk有kcxfn1)(0;又由),)(()(limExxfxfnn知),()(lim00xfxfnn即对任意的Zk,存在2N使得当2Nn时,有kxfxfn1|)()(|00.取},max{21NNN,则有kcxfn1)(0与kxfxfn1|)()(|00同时成立,于是有kcxfkxfn1)(1)(00,从而kcxf2)(0,由k的任意性知：cxf)(0,即cfEx0,故有11limknnkcfEcfE;综上所述：.11lim111kNNnnnnnkcfEkcfEcfE5．证明集列极限的下列性质．3(1)cnncnnAAlimlim_____；(2)cnncnnAA_____limlim；(3)nnnnAEAElim\\lim；(4)nnnnAEAElim\\lim．证明(1)cnnnnmcmncnmmcnnmmcnnAAAAAlim)()(lim111_____.(2)cnnnnnmcmcnmmcnnmmcnnAAAAA_____111lim)()(lim.(3)111))(()()\(\limnnmnnmcmcmnnmmnnAEAEAEAEcnnmmncnmmnnmcmAEAEAE)())(()(1111lim\\nnmnnmAEAE.(4)111))(()()\(\limnnmcmnnmnnmcmmnnAEAEAEAEcnnmmncnmmnnmcmAEAEAE)())(()(1111lim\\nnmnnmAEAE.6．如果}{},{nnBA都收敛，则}\{},{},{nnnnnnBABABA都收敛且(1)nnnnnnnBABAlimlimlim；(2)nnnnnnnBABAlimlimlim；(3)nnnnnnnBABAlim\lim\lim．习题1.21．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应．解令1111{,,,,}2345E,111{0,1,,,}234F,(0,1)\DE,则(0,1)ED,[0,1]FD.定义:(0,1)[0,1]为:;11();(1,2,)210;2xxDxxnnnx则为(0,1)[0,1]之间的一个一一对应.2．建立区间],[ba与],[dc之间的一一对应，其中dcba,．解定义::[,][,]abcd为:()().([,])dcdcbcadxxacxxabbababa可以验证::[,][,]abcd为一个一一对应.3．建立区间),(ba与],[dc之间的一一对应，其中dcba,．解令{,,,}234bababaEaaa，{,,,,}23dcdcFcdcc(,)\DabE.定义:(,)[,]abcd为:;();(1,2.)2;.2dcbcadxxDbabadcbaxcxannnbacxa4可以验证::(,)[,]abcd为一个一一对应.4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[?答不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1);因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4];因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理,而区间[1,2][3,4]不能保证介值性定理永远成立.5．证明：区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R且2R．证明记(0,1)A,则(0,1)(0,1)AA.任取(,)xyAA,设1231230.,0.,xaaaybbb为实数,xy正规无穷十进小数表示,并令1122(,)0.fxyabab,则得到单射:fAAA.因此由定理1.2.2知AAA.若令10.5AA,则1~AAAA.从而由定理1.2.2知:AAA.最后,根据Bernstein定理知:(0,1)~(0,1)(0,1).对于(,)(0,1)(0,1)xy,定义2:(0,1)(0,1)R为:(,)((),())22xytgxtgy,则为2(0,1)(0,1)R的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R.又因为:(0,1)~R,则由对等的传递性知:2(0,1)~(0,1)(0,1)~~RR且2RR.6．证明：1:),(22yxyxA与1:),(22yxyxB对等并求它们的基数．证明令221{(,):(1,2,3,)}Exyxynn,\DAE,221{(,):(1,2,3,)}1Fxyxynn.则,AEDBFD.定义::AB为:2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1xyxyDxyxyxynxyEnn可以验证::AB为一一对应,即~AB.又因为2~(0,1)(0,1)~~BRR,所以AB.7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数．证明对任意的,IJR，取有限区间(,)abI，则(,)abIR,则由Bernstern定理知I,同理J.故IJ.习题1.31．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M是可数集．证明因为有理数集Q是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M中的每个元素由Q中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621xxxaMxxx所以M为可数集.52．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M最多是可数集．证明对于任意的MO,使得Q)(Of.因此可得：QMf:.因为1O与2O不相交，所以)()(21OfOf.故f为单射，从而aMQ.3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明(2)当E可数时，存在双射Q)1,0(:Ef.因为11,11)1,0(nnnQQ所以