高等数学2第八章解答

1习题8-1向量及其线性运算1.在yOz平面上，求与三点(3,1,2)A、(4,2,2)B和(0,5,1)C等距离的点。2.设已知两点1(4,2,1)M和2(3,0,2)M，计算向量12MM的模、方向余弦和方向角。3.设向量r的模是4，它与u轴的夹角是3，求r在u轴上的投影。4.设358mijk，247nijk和54pijk，求向量43amnp在x轴上的投影以及在y轴上的分向量。5.从点2,1,7A沿向量8912aijk方向取长为34的线段AB，求点B的坐标。解设点B的坐标为,,xyz，则2,1,7ABxyz，且ABa，即28,19,712xyz，222222342178912ABxyz从而2，所以点B的坐标为18,17,172习题8-2数量积向量积1.设32aijk，2bijk，求（1）ab及ab；（2）(2)3ab及2ab；（3）a、b的夹角的余弦。2．已知1(1,1,2)M、2(3,3,1)M和3(3,1,3)M，求与12MM、23MM同时垂直的单位向量。3.求向量(4,3,4)a在向量(2,2,1)b上的投影。4.已知3OAik、3OBjk，求OAB的面积。35.设3,5,2,2,1,4ab，问与有怎样的关系能使ab与z轴垂直？解32,5,24ab，在z轴上取单位向量0,0,1e，要使它与ab互相垂直，只须()0abe，即320502410,240,2，即为所求与的关系习题8-3曲面及其方程1.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程。2.将xOy坐标面上的双曲线224936xy分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。习题8-4空间曲线及其方程1.分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线2222222160xyzxzy的柱面方程。42.求球面2229xyz与平面1xz的交线在xOy面上的投影的方程。3.将曲线2229xyzyx的一般方程化为参数方程：4.求曲线2232330,10xzyzxzyz在xoz平面上的投影方程。解从两曲面方程消去y，得到母线平行于y轴的投影柱面方程：224230xzx从而所求投影曲线方程为2242300xzxy5.已知空间曲线:C222222142zyxzyx。①求C为准线而母线平行于y轴的柱面方程；②求出C在xoy面的投影方程。解从C的方程消去y得到所求柱面方程：1622zx从C的方程消去z得到投影柱面方程：16522yx5习题8-5平面及其方程1.求过点(3,0,1)且与平面375120xyz平行的平面方程。2.求过(1,1,1)、(2,2,2)和(1,1,2)三点的平面方程。3.求平面2250xyz与各坐标面的夹角的余弦。4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz面且经过点(2,5,3)；（2）通过z轴和点(3,1,2);（3）平行于x轴且经过两点(4,0,2)和(5,1,7)。65.求点(1,2,1)到平面22100xyz的距离。6.求通过点2,1,1,1,2,3PQ且垂直于平面23560xyz的平面方程。解设所求平面方程为0AxByCzD，则其法向量2,3,5,1,3,4nnPQ，23509,3340ABCABCBABC，取19,1,3Bn以点2,1,1P代入方程0AxByCzD得2016ABCDD故所求平面方程为93160xyz7习题8-6空间直线及其方程1.求过两点1(3,2,1)M和2(1,0,2)M的直线方程。2.用对称式方程及参数方程表示直线124xyzxyz.3.求过点(2,0,3)且与直线247035210xyzxyz垂直的平面方程。4.求直线533903210xyzxyz，与直线2223038180xyzxyz，的夹角的余弦。85.求直线300xyzxyz，与平面10xyz的夹角。6.求点(3,1,2)p到直线10240xyzxyz的距离。7.求直线2403290xyzxyz，在平面41xyz上的投影直线的方程。98.求过点3,2,5且与两个平面251xyz和43xz的交线平行的直线的方程。解方法一先求过点3,2,5且与已知平面平行的平面12:232550,:3450xyzxz即12:25330,:4230xyzxz所求直线的一般方程为253304230xyzxz方法二所求直线的方向向量为两平面的法向量的向量积122,1,5,1,0,4nn故1221543104ijknnijk又直线过点3,2,5，故所求直线方程为325431xyz复习题八1.在y轴上求与点(1,3,7)A和点(5,7,5)B等距离的点。解根据题意，设所求点为0,,0My，由222222137575yy2y故所求点为0,2,0M2.设||||abab，(3,5,8)a，(1,1,)bz，求z.103.设||3a，||1b，(,)6ab，求向量ab与ab的夹角。4.设一平面垂直于平面0z，并通过从点(1,1,1)到直线100yzx的垂线，求此平面的方程。115.求曲线22222(1)(1)zxyzxy在三个坐标面上的投影曲线的方程。6.求过点1,2,1M且与直线2:341xtLytzt垂直的平面方程。解因所求平面过定点M且与直线L垂直，所以L的方向向量与平面的法向量平行，将直线L的参数方程改写为标准方程：241:131xyzLL的方向向量为1,3,1，故所求平面方程为113210340xyzxyz7.已知直线:1L132211zyx和:2L11122zyx，求经过1L且平行2L的平面方程。解1L的方向向量：)1,2,1(1v，2L的方向向量：)1,1,2(2v。取所求平面的法向量：)3,1,1(11212132121eeevvn其方程为：0)3(3)2()1(zyx，整理得063zyx。