二项式定理知识点总结

二项式定理一、二项式定理：nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110（Nn）等号右边的多项式叫做nba的二项展开式，其中各项的系数knC)3,2,1,0(nk叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有1n项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数ba,，等式都成立，通过对ba,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设xba，1，则nnnknknnnnnxCxCxCxCx101（Nn）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nba展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式nba二、二项展开式的通项：kknknkbaCT1二项展开式的通项kknknkbaCT1)3,2,1,0(nk是二项展开式的第1k项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项kknknkbaCT1)3,2,1,0(nk的理解：（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有1,,,,kTknba这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例1．nnnnnnCCCC1321393等于（）A．n4B。n43C。134nD.314n例2．（1）求7(12)x的展开式的第四项的系数；（2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数奎屯王新敞新疆三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即,,,,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：2maxnnknCC；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即2121maxnnnnknCCC③二项展开式的各系数的和等于n2，令1a，1b即nnnnnnCCC2)11(10；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令1a，1b即131202nnnnnCCCC例题：写出11)(yx的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项（1）求多项式nnaaa)(21的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式322)21(xx的展开式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求52)1()1(xx的展开式中3x的系数例题：（1）如果在nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2）求321xx的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：已知7270127(12)xaaxaxax，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017||||||aaa.六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：（1）进行近似计算（2）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式。如证明：Nnnnn,322取nn112的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求nx)1(的近似值。例题：6)05.1(的计算结果精确到0.01的近似值是（）A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34（2）整除性问题或求余数的处理方法①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为1，若k为其他数，则需对幂的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了③要注意余数的范围，对给定的整数)0(,bba，有确定的一对整数q和r，满足rbqa，其中b为除数，r为余数，br,0，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题：求632013除以7所得的余数例题：若n为奇数，则777712211nnnnnnnCCC被9除得的余数是（）A．0B。2C。7D.8例题：当Nn且n1，求证3)11(2nn【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在103x的展开式中，6x的系数为（）A．610C27B．410C27C．610C9D．410C92．已知a4b,0ba，nba的展开式按a的降幂排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）A．4B．9C．10D．113．已知（naa)132的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）A．10B．11C．12D．134．5310被8除的余数是（）A．1B．2C．3D．75．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）A．1.23B．1.24C．1.33D．1.346．二项式n4x1x2(nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A．1B．2C．3D．47．设(3x31+x21)n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x2项的系数是（）A．21B．1C．2D．38．在62)1(xx的展开式中5x的系数为（）A．4B．5C．6D．79．nxx)(5131展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（）A．330B．462C．680D．79010．54)1()1(xx的展开式中，4x的系数为（）A．－40B．10C．40D．4511．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x在[0，2π]内的值为（）A．6或3B．6或65C．3或32D．3或6512．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3n－5的（）A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.13．92)21(xx展开式中9x的系数是.14．若44104xaxaa3x2，则2312420aaaaa的值为__________.15．若32()nxx的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是.16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T1000=－C19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分.17．（12分）若nxx)1(66展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１）求n的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）已知(124x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．19．（12分）是否存在等差数列na，使nnn1n2n31n20n12nCaCaCaCa对任意*Nn都成立？若存在，求出数列na的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？21.（12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.22．（14分）规定!)1()1(mmxxxCmx，其中x∈R，m是正整数，且10xC，这是组合数mnC（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．(1)求315C的值；(2)设x０，当x为何值时，213)(xxCC取得最小值？(3)组合数的两个性质；①mnnmnCC.②mnmnmnCCC11.是否都能推广到mxC（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.