求解电场强度13种方法(附例题)

求解电场强度方法分类赏析一．必会的基本方法：1．运用电场强度定义式求解例1.质量为m、电荷量为q的质点，在静电力作用下以恒定速率v沿圆弧从A点运动到B点,，其速度方向改变的角度为θ（弧度），AB弧长为s，求AB弧中点的场强E。【解析】:质点在静电力作用下做匀速圆周运动，则其所需的向心力由位于圆心处的点电荷产生电场力提供。由牛顿第二定律可得电场力F=F向=mrv2。由几何关系有r=s，所以F=msv2，根据电场强度的定义有E=qF=qsmv2。方向沿半径方向，指向由场源电荷的电性来决定。2．运用电场强度与电场差关系和等分法求解例2（2012安徽卷）．如图1-1所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0V，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为AA．200/VmB．2003/VmC．100/VmD．1003/Vm（1）在匀强电场中两点间的电势差U=Ed，d为两点沿电场强度方向的距离。在一些非强电场中可以通过取微元或等效的方法来进行求解。（2若已知匀强电场三点电势，则利用“等分法”找出等势点，画出等势面，确定电场线，再由匀强电场的大小与电势差的关系求解。3．运用“电场叠加原理”求解例3(2010海南).如右图2，M、N和P是以MN为直径的半圈弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，60MOP．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为1E；若将N点处的点电荷移至P则O点的场场强大小变为2E，1E与2E之比为BA．1:2B．2:1C．2:3D．4:3二．必备的特殊方法：4．运用平衡转化法求解例4．一金属球原来不带电，现沿球的直径的延长线放置图360°PNOM图2一均匀带电的细杆MN，如图3所示。金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上a、b、c三点的场强大小分别为Ea、Eb、Ec，三者相比（）A．Ea最大B．Eb最大C．Ec最大D．Ea=Eb=Ec【解析】:导体处于静电平衡时，其内部的电场强度处处为零，故在球内任意点，感应电荷所产生的电场强度应与带电细杆MN在该点产生的电场强度大小相等，方向相反。均匀带电细杆MN可看成是由无数点电荷组成的。a、b、c三点中，c点到各个点电荷的距离最近，即细杆在c点产生的场强最大，因此，球上感应电荷产生电场的场强c点最大。故正确选项为C。点评：求解感应电荷产生的电场在导体内部的场强，转化为求解场电荷在导体内部的场强问题，即E感=-E外（负号表示方向相反）。5．运用“对称法”（又称“镜像法”）求解例5．（2013新课标I）如图4，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(qO)的固定点电荷.已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)A.kB.kC.kD.k【解析】:点电荷+q在b点场强为E1、薄板在b点场强为E2，b点场强为零是E1与E2叠加引起的，且两者在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，大小E1=E2=2Rkq。根据对称性可知，均匀薄板在d处所形成的电场强度大小也为E2，方向水平向左；点电荷在d点场强E3=2)3(Rkq，方向水平向左。根据叠加原理可知，d点场Ed=E2+E3=2910Rkq。点评：对称法是利用带电体电荷分布具有对称性，或带电体产生的电场具有对称性的特点来求合电场强度的方法。通常有中心对称、轴对称等。例7如图6所示，在一个接地均匀导体球的右侧P点距球心的距离为d，球半径为R.。在P点放置一个电荷量为+q的点电荷。试求导体球感应电荷在P点的电场强度大小。析与解：如图6所示，感应电荷在球上分布不均匀，靠近P一侧较密，关于OP对称，因此感应电荷的等效分布点在OP连线上一点P′。设P′距离O为r，导体球接地，故球心O处电势为零。根据电势叠加原理可知，导体表面感应电荷总电荷量Q在O点引起的电势与点电荷q在O点引导起的电势之和为零，即dkq+RkQ=0，即感应电荷量Q=qdR。同理，Q与q在球面上任图4图6意点引起的电势叠加之后也为零，即22cos2rRrRkQ=22cos2dRdRkq，其中α为球面上任意一点与O连线和OP的夹角，具有任意性。将Q代入上式并进行数学变换后得d2r2–R4=(2Rrd2–2R3d)cosα，由于对于任意α角，该式都成立，因此，r满足的关系是r=dR2。根据库仑定律可知感应电荷与电荷q间的相互作用力F=2)(rdkqQ=2222)(RdkdRq。根据电场强度定义可知感应电荷在P点所产生的电场强度E=qF=222)(RdkdRq。6．运用“等效法”求解例6．（2013安徽卷）.如图5所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满0z的空间，0z的空间为真空。将电荷为q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上2hz处的场强大小为（k为静电力常量）A.24qkhB.249qkhC.2329qkhD.2409qkh【解析】:求金属板和点电荷产生的合场强，显然用现在的公式直接求解比较困难。能否用中学所学的知识灵活地迁移而解决呢？当然可以。由于xOy平面是无穷大导体的表面，电势为0，而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也为0，因而可以联想成图6中所示的两个等量异号电荷组成的静电场等效替代原电场。根据电场叠加原理，容易求得2hz点的场强，22()224039()2qhqqEkkkhh，故选项D正确。点评：（1）等效法的实质在效果相同的情况下，利用问题中某些相似或相同效果进行知识迁移的解决问题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。（2）本题也可以用排除法求解.仅点电荷q在2hz处产生的场强就是24qkh，而合场强一定大于24qkh，符合的选项只有D正确。图5图6例6如图5（a）所示，距无限大金属板正前方l处，有正点电荷q，金属板接地。求距金属板d处a点的场强E（点电荷q与a连线垂直于金属板）。析与解：a点场强E是点电荷q与带电金属板产生的场强的矢量和。画出点电荷与平行金属板间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征，会发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线分布相似，金属板位于连线中垂线上，其电势为零，设想金属板左侧与+q对称处放点电荷-q，其效果与+q及金属板间的电场效果相同。因此，在+q左侧对称地用–q等效替代金属板，如图5（b）所示。所以，a点电场强度Ea=kq[22)(1)(1dldl]。7运用“微元法”求解例7．（2006•甘肃）.ab是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图7所示．ab上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2．则以下说法正确的是（）A两处的电场方向相同，E1＞E2B两处的电场方向相反，E1＞E2C两处的电场方向相同，E1＜E2D两处的电场方向相反，E1＜E2．．【解析】:将均匀带电细杆等分为很多段，每段可看作点电荷，由于细杆均匀带电，我们取a关于P1的对称点a′，则a与a′关于P1点的电场互相抵消，整个杆对于P1点的电场，仅仅相对于a′b部分对于P1的产生电场．而对于P2，却是整个杆都对其有作用，所以，P2点的场强大．设细杆带正电,根据场的叠加，这些点电荷在P1的合场强方向向左，在P2的合场强方向向右，且E1＜E2．故选D．点评：（1）因为只学过点电荷的电场或者匀强电场，而对于杆产生的电场却没有学过，因而需要将杆看成是由若干个点构成，再进行矢量合成．（2）微元法就是将研究对象分割成许多微小的单位，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，找出每一个微元的性质与规律，然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律。严格的说，微分法是利用微积分的思想处理物理问题的一种思想方法图7（a）+qdal图5+q-qa（b）例8如图7（a）所示，一个半径为R的均匀带电细圆环，总量为Q。求圆环在其轴线上与环心O距离为r处的P产生的场强。析与解：圆环上的每一部分电荷在P点都产生电场，整个圆环在P所建立电场的场强等于各部分电荷所产生场强的叠加。如图7（b）在圆环上取微元Δl，其所带电荷量Δq=RQ2Δl，在P点产生的场强：ΔE=22Rrqk=)(222RrRlkQ整个圆环在P点产生的电场强度为所有微元产生的场强矢量和。根据对称性原理可，所有微元在P点产生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消，所以整个圆环在P点产生场中各微元产生的场强沿轴线方向分量之和，即EP=ΣΔEcosθ=Σ2222)(2RrrRrRlkQ=322)(RrkQr8．运用“割补法”求解例8.如图8所示，用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d远远小于r，将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。【解析】:假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相应点的点电荷，它们在圆心O处产生的电场叠加后合场强为零。根据对称性可知，带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O处的场强E1，是可求的。若题中待求场强为E2，则E1+E2＝0。设原缺口环所带电荷的线密度为ρ,Q＝/(2r-d)，则补上的那一小段金属丝带电量Q＇＝d，在0处的场强E1＝KQ＇/r2,由E1+E2＝0可得：E2＝-E1，负号表示E2与E1反向，背向圆心向左。例9如图8（a）所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电。试比较A′点与A″点电场强度的大小。析与解：如图8（b）所示，球冠上正电荷在A′点产生的电场强度为E1、球层面上正电荷在A″点产生电场强度为E2。球冠与球层两部分不规则带电体产生的电场强度，无法用所学公式直接进行计算或比较。于是，需要通过补偿创造出一个可以运用已知规律进行比较的条件。r图8图7（b）（a）（a）（b）（c）图8在球层表面附着一个与原来完全相同的带正电半球体，如图8（c）所示，显然由叠加原理可知，在A″点产生电场强度E3E2。若将球冠与补偿后的球缺组成一个完整球体，则则均匀带电球体内电场强度处处为零可知，E1与E3大小相等，方向相反。由此可以判断，球冠面电荷在A′点产生的电场强度为E1大于球层面电荷在A″点产生电场强度E2。9运用“极值法”求解例9．如图9所示，两带电量增色为+Q的点电荷相距2L，MN是两电荷连线的中垂线，求MN上场强的最大值。【解析】:用极限分析法可知，两电荷间的中点O处的场强为零，在中垂线MN处的无穷远处电场也为零，所以MN上必有场强的最大值。最常规方法找出所求量的函数表达式，再求极值。点评：物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理、定律求解。数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。本题属于数学型极值法，对数学能力要求较高，求极值时要巧妙采用数学方法才能解得。10运用“极限法”求解例10（2012安徽卷）．如图11-1所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：221/22[1]()xEkRx，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r圆板，在Q处形成的场强为02Ek。的圆版，如图11-2所示。则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为A．0221/22()xkrxB.0221/22()rkrxC．02xkrD．02rkx【解析1】:由题中信息可得单位面积带电量为0无限大均匀带电平板，可看成是R→∞的圆板，在Q处形成的场强为02Ek