由递推公式求通项公式的方法

由递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、1()nnaafn型数列，（其中()fn不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()nnaafn，从而就有21321(1),(2),,(1).nnaafaafaafn将上述1n个式子累加，变成1(1)(2)(1)naafffn，进而求解。例1.在数列{}na中,112,21,.nnnaaana求解：依题意有213211,3,,23nnaaaaaan逐项累加有221(123)(1)1323(1)212nnnaannnn，从而223nann。注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：已知{}na满足11a,)1(11nnaann,求}{na的通项公式。二、)(1nfaann型数列，（其中()fn不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()nnafna，从而就有32121(1),(2),,(1)nnaaafffnaaa将上述1n个式子累乘，变成1(1)(2)(1)nafffna，进而求解。例2.已知数列{}na中11123,(2)321nnnaaann，求数列{}na的通项公式。解：当2n时，324123113523,,,,,57921nnaaaanaaaan将这1n个式子累乘，得到113(21)(21)naann，从而21311(21)(21)341nannn，当1n时，1211413an，所以2141nan。注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：在数列{}na中,na0,221112,(1)nnnnananaaa,求na.提示：依题意分解因式可得11[(1)]()0nnnnnanaaa，而na0,所以1(1)0nnnana，即11nnanan。三、qpaann1型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设)(1mapmann，展开整理1nnapapmm，比较系数有pmmb，所以1bmp，所以1nbap是等比数列，公比为p，首项为11bap。二是用作差法直接构造，1nnapaq,1nnapaq，两式相减有11()nnnnaapaa，所以1nnaa是公比为p的等比数列。例3.在数列{}na中，11a，当2n时，有132nnaa，求{}na的通项公式。解法1：设13()nnamam，即有132nnaam对比132nnaa，得1m，于是得113(1)nnaa，即3111nnaa所以数列{1}na是以112a为首项，以3为公比的等比数列则1231nna。解法2：由已知递推式，得1132,32,(2)nnnnaaaan，上述两式相减，得113()nnnnaaaa，即311nnnnaaaa因此，数列1{}nnaa是以214aa为首项，以3为公比的等比数列。所以1143nnnaa，即13243nnnaa，所以1231nna。变式练习：已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四、nfpaann1型数列（p为常数）此类数列可变形为111nnnnnpnfpapa，则nnpa可用累加法求出，由此求得na.例4已知数列na满足1111,32nnnaaa,求na.解:将已知递推式两边同除以12n得1131222nnnnaa,设2nnnab,故有132(2)2nnbb，15322nnnb,从而11532nnna.注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.若()fn为n的一次函数,则na加上关于n的一次函数构成一个等比数列;若()fn为n的二次函数,则na加上关于n的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．已知数列na满足1111,2,21,.2nnnanaana当时求解:作nnbaAnB,则nnabAnB,11(1)nnabAnB代入已知递推式中得:11111(2)(1)2222nnbbAnAB.令1202111022AAB46AB这时112nnbb且46nnban显然,132nnb,所以13462nnan.注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.变式练习：（1）已知na满足11122,2nnnaaa，求na。（2）已知数列{}na，nS表示其前n项和，若满足231nnSann，求数列{}na的通项公式。提示：（2）中利用111,2nnnSnaSSn，把已知条件转化成递推式。五、CBaAaannn型数列（CBA,,为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1nnapaq型数列。例6．已知数列na满足1122,2nnnaaaa,求na.解:两边取倒数得:11112nnaa,所以1111(1)22nnnaa，故有2nan。变式练习：数列{}na中，11112,22nnnnnaaaa，求{}na的通项。六、nnnqapaa12型数列（,pq为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设nnnnaaaa112构造等比数列。例7．数列na中，,3,221aa且2,211nNnaaannn，求na.