第三章.离散时间信号的傅里叶变换

1第三章离散时间信号的傅里叶变换内容概要1、连续时间信号的傅氏变换2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT）3、连续时间信号的抽样4、离散时间周期信号的傅氏级数5、离散傅氏变换（DFT）6、利用DFT计算线性卷积7、希尔伯特变换第三章离散时间信号的傅里叶变换1、连续时间信号的傅里叶变换连续周期信号的傅里叶级数将上面结果推广至一般周期信号，即是傅里叶级数。设是一个复正弦信号，记为，式中是幅度，是频率，其周期为。若由无穷多个复正弦组成，且其第个复正弦的频率是的倍，其幅度记为，则可表示为()xt02/Tπ=Ω()0jtxtXeΩ=X0Ω()xtkk0Ω()xt()0XkΩ()()00jktkxtXke∞Ω=−∞=Ω∑设是一周期信号，其周期为T，若在一个周期内的能量是有限的，即()xt()xt()/22/2TTxtdt−∞∫则可以展开成上面的傅里叶级数。式中是傅里叶系数。其值应是有限的，并且满足()xt()0XkΩ并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件外，还需要满足如下的Dirichlet条件：1、连续时间信号的傅里叶变换()()0/20/21TjktTXkxtedtT−Ω−Ω=∫代表了中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。()0XkΩ()xt①在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限的。②在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。③在一个周期内应是绝对可积的，即()/2/2TTxtdt−∞∫1、连续时间信号的傅里叶变换-TTA-τ/2τ/2f(t)t1、连续时间信号的傅里叶变换连续非周期信号的傅里叶变换()2xtdt∞−∞∞∫设是一个连续非周期信号，若，即()xt()2xtL∈则的傅里叶变换存在，定义为：()xt()()jtXjxtedt∞−Ω−∞Ω=∫其反变换为()()12jtxtXjedπ∞Ω−∞=ΩΩ∫Ω()XjΩ其中为角频率，单位是rad/s。是的连续函数，称为信号的频谱密度函数，或简称为频谱。2fπΩ=()xt实现傅里叶变换除满足平方可积条件外，也需满足Dirichlet条件。Dirichlet条件是傅里叶变换存在的充分条件，而非必要条件。21、连续时间信号的傅里叶变换-τ/2τ/21τ2π/τ4π/τ()XjΩΩ1、连续时间信号的傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系主要区别：①对应周期信号，对应非周期信号；②要求信号在一个周期内能量有限；要求信号在整个时间区间内能量有限；③是离散的，是连续函数；④代表周期信号的第k次谐波幅度的大小，是频谱密度的概念。且二者量纲不同。()0XkΩ()XjΩ()0XkΩ()XjΩ()XjΩ()0XkΩ()0XkΩ()XjΩ1、连续时间信号的傅里叶变换由信号功率定义和傅里叶级数定义可得()()/2220/21TxTkPxtdtXkT∞−=−∞==Ω∑∫对能量信号，可采用同样方法导出()()2212xExtdtXjdπ∞∞−∞−∞==ΩΩ∫∫上面两个关系称为Parseval（巴塞伐）关系或Parseval定理。前者反映功率关系，后者反映能量关系。1、连续时间信号的傅里叶变换将傅里叶级数表达式直接代入傅里叶变换表达式，可得到周期信号傅里叶变换的表达式()()()002kXjXkkπδ∞=−∞Ω=ΩΩ−Ω∑上式表明，一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为的冲激序列所组成，这些冲激序列的强度等于相应的傅里叶系数乘以。这样的离散频谱又称为“线谱”。0Ω2π因此在引入冲激信号后，本不具备傅里叶变换的周期信号，也可以作傅里叶变换。由前面讨论可知，时域连续周期信号的傅里叶变换在频域内是离散的、非周期的；而时域连续非周期信号的傅里叶变换在频域内是连续的、非周期的。1、连续时间信号的傅里叶变换几个常用周期信号的傅里叶变换①单个复正弦()()()002jtxteXjπδΩ=⇔Ω=Ω−Ω②实正弦()()()()00000sin/2jtjtxtteejXjjπδδΩ−Ω⎡⎤=Ω=−⇔⎣⎦Ω=Ω+Ω−Ω−Ω⎡⎤⎣⎦③实余弦()()()()00000cos/2jtjtxtteeXjπδδΩ−Ω⎡⎤=Ω=+⇔⎣⎦Ω=Ω+Ω+Ω−Ω⎡⎤⎣⎦④复正弦集合1、连续时间信号的傅里叶变换⑤时域冲激串序列()()()002jktkkxteXjkπδ∞∞Ω=−∞=−∞=⇔Ω=Ω−Ω∑∑()()()()02nkpttnTPjkTπδδ∞∞=−∞=−∞=−⇔Ω=Ω−Ω∑∑上式表明，时域冲激串的傅里叶变换，变换的结果是频域的冲激串。这两个冲激串的间距和互为倒数。这一对变换关系在信号处理中有重要作用。0ΩT32、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）DTFT（离散时间信号的傅里叶变换）的定义()()jjnnXexneωω∞−=−∞=∑令是一非周期序列，且，则的傅里叶变换定义为：()1xnl∈()xn()xn显然，的傅里叶变换是的连续函数，且是的周期函数，周期为。()xn()jXeωωω2π()()12jjnxnXeedπωωπωπ−=∫DTFT的反变换公式为：1、线性2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）DTFT的性质()()11jxnXeω⇒()()22jxnXeω⇒如果()()()12xnaxnbxn=+则()()()12jjjXeaXebXeωωω=+2、时移如果()()0ynxnn=−则()()0jnjjYeeXeωωω−=2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）3、奇、偶、虚、实对称性质()()()RIxnxnjxn=+()()()jjjRIXeXejXeωωω=+如果是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有如下性质：()xn设是复信号，则和可分别表示为()xn()xn()jXeω①的实部是的偶函数，即ω()jXeω()jRXeω()()jjRRXeXeωω−=()jIXeω②的虚部是的奇函数，即ω()jXeω()()jjIIXeXeωω−=−由前两条性质可得实信号DTFT的Hermitian对称性，即2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）()()*jjXeXeωω−=③的幅频响应是的偶函数，即ω()jXeω()()()()1222jjjjRIXeXeXeXeωωωω−⎡⎤=+=⎣⎦④的相频响应是的奇函数，即ω()jXeω()()()()2arctanjIjRXeXeωωϕωϕω==−−⑤可表示为()xn()()()()()01cossinjjRIxnXenXendπωωωωωπ⎡⎤=−⎣⎦∫2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）⑥如果是实偶函数，则()xn()()()()()()()()1002cos01cosjRnjIjRXexxnnXexnXendωωπωωωωπ∞==+==∑∫⑦如果是实奇函数，则()xn()()()()()()()1002sin1sinjRjInjIXeXexnnxnXendωωπωωωωπ∞===−=−∑∫2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）4、时域卷积定理()()()*ynxnhn=()()()jjjYeXeHeωωω=5、频域卷积定理()()()ynxnhn=()()()()()()1*2jjjjjYeXeHeXeHedπωθωωωθπθπ−−==∫42、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）6、时域相关定理()()()nymxnhnm∞=−∞=+∑如果是和的相关函数，即()hn()yn()xn()()()*jjjYeXeHeωωω=令是的自相关函数的傅里叶变换，则()xrm()jxEeω()xn()()()2jjjmxxmEeXermeωωω∞−=−∞==∑7、Parseval（巴塞伐）定理2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）()()222212jnxxnXedπωπωπ∞−=−∞==∑∫信号在时域的总能量等于其频域的总能量，而频域总能量等于在一个周期内的积分。因此是信号的能量谱。()2jXeω()2jXeω8、Wiener-Khinchin（维纳—辛钦）定理2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）功率信号的自相关函数的傅里叶变换：()xn()()20NxnnNxnnN⎧≤⎪=⎨⎪⎩()()()()221lim21lim21NjmjmxNmmnNjNNrmexnxnmeNXeNωωω∞∞−−→∞=−∞=−∞=−→∞⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦=+∑∑∑()2jNXeωDTFTIDTFT()22lim21jNNXeNω→∞∞+2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）如果则称其为功率信号的功率谱。即()xn()jxPeω()()()22lim21jNjjmxxNmXePermeNωωω∞−→∞=−∞==+∑上式称为确定性信号的维纳—辛钦定理，它说明功率信号的自相关函数和其功率谱之间是一对傅里叶变换。功率谱总是实函数。信号的总功率为()12jxxPPedπωπωπ−=∫2、离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）例题：令，显然，即对所有的频率，其幅频响应都为1，相频响应都为零。如果()()xnnδ=()1jXeω=ω()()xnnmδ=−则()()jjnjmnXenmeeωωωδ∞−−=−∞=−=∑()1jXeω=()()()()()sinarctanarctancosjIjRXemmmXeωωωϕωωω⎡⎤−===−⎢⎥⎣⎦是的线性函数，因此称具有线性相位。ω()jXeω()ϕω3、连续时间信号的抽样抽样定理()jXeω()xt()sxnT()XjΩ()()snpttnTδ∞=−∞=−∑连续信号和冲激串函数相乘，可得离散信号()pt()axt()()()()|ssatnTaxnTxtxtpt===53、连续时间信号的抽样3、连续时间信号的抽样()()jtaaXjxtedt∞−Ω−∞Ω=∫()()jjnsnXexnTeωω∞−=−∞=∑1、连续信号频谱与离散信号频谱之间的关系()aXjΩ()jXeω()()/|sjsTXeXjωωΩ==Ω将视为连续信号，其傅里叶变换记为，则()sxnT()sXjΩ令为的傅里叶变换，()pt()PjΩ()()2sksPjkTπδ∞=−∞Ω=Ω−Ω∑其频域周期为。2/ssTπΩ=3、连续时间信号的抽样()()()()1*saasksXjXjPjXjjkT∞=−∞Ω=ΩΩ=Ω−Ω∑()()()/1|sjsTasksXeXjXjjkTωω∞Ω==−∞=Ω=Ω−Ω∑Ω(j)aXΩcΩc−Ω()0acXjΩ=ΩΩ信号的最高角频率例：给定一有限带宽信号，其频谱图如下，试分别求抽样角频率为、、时，抽样后离散序列的频谱。1.6scΩ=Ω2.5scΩ=Ω2scΩ=Ω()sxnT3、连续时间信号的抽样2π0.8π2.5csccTΩ×=Ω×=Ω2.5scΩ=Ωj(e)Xωω2scΩ=Ω2ππ2csccTΩ×=Ω×=Ωj(e)Xωω3、连续时间信号的抽样1.6scΩ=Ω2π1.25π1.6csccTΩ×=Ω×=Ωj(e)Xωωj(e)Xωω可见过小，即过大时，离散时间信号的频谱会发生混叠现象（aliasing），一个周期内的不等于，因此无法从恢复出。sTsΩ()sXjΩ()aXjΩ()sxnT()axt3、连续时间信号的抽样2、抽样定理（samplingtheory）如果连续信号是有限带宽的，其频谱的最高频率为，对抽样时，若保证抽样频率()xtcf()xt2scff≥（或，或）2scΩ≥Ω/scTπ≤Ω那么，可由恢复出，即保留了的全部信息。()sxnT()xt()sxnT()xt抽样定理由奈奎斯特（Nyquist）和香农（ShannonC.E.）分别于1928年和1949年提出，因此又称奈奎斯特定理或香农定理。抽样频率又称为“奈奎斯特频率”。使频谱不发生混叠的最小抽样频率即称为“奈奎斯特频率”，称为折叠频率。/2sf2scff=63、连续时间信号的抽样3、抗混叠滤波器（anti-aliasingfilter）许多实际工程信号不满足有限带宽条件，抽样前应作模拟滤波处理，以滤掉高频成分。抗混叠低通滤波器()xt1()xt()ht(j)XΩΩ(j)HΩc−ΩcΩΩ3、连续时间信号的抽样信号的重建π−π