排列组合常用方法汇总

解排列问题的常用技巧解排列问题:首先必须认真审题,明确问题是否是排列问题;其次是抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答;同时,还要注意讲究一些基本策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。总的原则—合理分类和准确分步解排列问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续过程应分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例1.今有6个同学和2个老师排成一排照相,2个老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法？分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有𝐴55种方法.2)若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有𝐴41种,第1位的排法有𝐴41种,第2、3、6、7位的排法有𝐴44种，根据分步计数原理，不同的站法有𝐴41×𝐴41×𝐴44种。再安排老师，有2种方法。根据分步及分类计数原理，不同的站法共有(𝐴55+𝐴41×𝐴41×𝐴44)×𝐴22=1008(种)练习：（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位偶数？个位数为零：𝐴54个位数为2或4：𝐴21×𝐴41×𝐴43总数为：𝐴54+𝐴21×𝐴41×𝐴43=120+192=3122）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？分类：后两位数字为5或0：个位数为0：𝐴54个位数为5：𝐴41×𝐴43总数为：𝐴54+𝐴41×𝐴43=120+96=2163）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？3251231234134512AAAAAA4）31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）2753254515AA方法二：（直接法）27512212233445AAAA解题技巧（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。例2用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（B）A.24B.30C.40D.60分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；0排在末尾时，有𝐴42=12个；0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有𝐴21×𝐴31×𝐴31=18个；由分类计数原理，共有偶数30个.（二）总体淘汰法(间接法）对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。例3用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。分析：五个数组成三位数的全排列有𝐴53个，0排在首位的有𝐴42个，1排在末尾的有𝐴42个，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数𝐴31（为什么？）故共有𝐴53-2𝐴42+𝐴31=60-24+3=39种。种排法。2各不能排某位，则有、个位，个不同元素排若2211mnmnmnAAAbamn练习(1)五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第2个位置，那么不同的站法有（C）A.120B.96C.78D.72直接法：𝐴44+𝐴31𝐴31𝐴33=78种间接法：𝐴55−2𝐴44+𝐴33=78种（2）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是4的五位数？个）(2344556AAA（3）用间接法解例1“6个同学和2个老师排成一排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？”种）(1008)!4!52!6(2(4)特殊元素、特殊位置问题用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1)五位数;2)六位偶数;3)大于213045的自然数第一问解法(1)位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5种排法，，其余4个位置有𝐴54种排法，由乘法原理知共有:5·𝐴54=5·5·4·3·2=600种.解法(2)元素分析法：0是特殊元素，可先考虑，第一类是五位数中不含0有𝐴55个，第二类五位数中含0,则第一步先排0有4种排法,第二步有𝐴54种排法,由加法原理和乘法原理知共有𝐴55+4·𝐴54=600种.前两种解法都是直接法解法3(间接法)6个数中取5个数的排列中有不满足要求的数如02134等,0这样的数，共有𝐴65-𝐴54=600种第二问可分为两类：第一类是个位为0的有𝐴55=120个，第二类个位不是0,个位有两种排法，首位有4种排法，中间四位有𝐴44种排法.第二类共有2·4·𝐴44=192,由加法原理共有𝐴55+192=312第三问形如3,4,5,这样的数都是满足条件的数共有A13·A55种；形如23，24，25这样的数都是满足条件的数共有A13·A44种；形如214,215这样的数都是满足条件的数共有A12·A44种；形如2134,2135的数有A12·A22形如21054有一个故满足要求的数共有449个例4：某班一天由语文、数学、外语、物理政治、体育六节课，要求数学不排在最后一节，体育不排在最后一节，共有多少种不同的排法。解法一：①若第一节排数学共有A55种排法，②若数学不排在第一节，则数学有四种排法，体育有四种排法，其余有A44种排法，因此共有4·4·A44因此共有A55+4·4·A44=504种解法二；六节课全排列共有A66种排法，最后一节排数学有A55种排法，第一节排体育有A55种排法，第一节排体育且最后一节排数学有A44种排法，共有A66-2A55+A44=504种（三）相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元素（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。例4现有7人站成一排照相,要求甲、乙、丙三人相邻，分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列,有种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列。由分步计数原理可得𝐴55×𝐴33种不同排法。（四）不相邻问题——插空法对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分析：可先让其余4人站好，共有𝐴44种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有𝐴53种方法，这样共有𝐴44×𝐴53种不同的排法。练习(1)三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？捆绑法：443322AAA(2)三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？插空法：4433AA(3)如果有两个男生、四个女生排成一排，要求男生之间不相邻，有几种不同排法？插空法：2544AA（五）顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析：先在7个位置上作全排列，有𝐴77种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故只对应一种排法33A，所以共有473377AAA种。练习（1）五人排队，甲在乙前面的排法有几种？分析：若不考虑限制条件，则有𝐴55种排法，而甲，乙之间排法有𝐴22种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有𝐴55𝐴22=𝐴532）三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？𝐴77𝐴33=𝐴53（六）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例7七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有𝐴77种.练习（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？774437AAA或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以两排可看作一排来处理不同的坐法有𝐴77种（2）八个人排成两排，有几种不同排法？𝐴88（七）实验法题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。例8将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6B.9C.11D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。（八）住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例9七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）A.75B.57C𝐴75D.𝐶75分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是57呢？用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。(九)对应法例10在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。(十)其他问题同室4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？解法1：第一步第一个同学从中拿一张贺卡,满足要求的拿法有3种,第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，由乘法原理共有3·3·1·1=9解法2：可以画一个树状图，知满足要求的拿法有9种