初中数学化简求值专题

1初中数学化简求值个性化教案学生学科数学年级教师刘岳授课日期授课时段课题化简求值专题练习重点难点注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！考点：①分式的加减乘除运算②因式分解③二次根式的简单计算教学内容数学中考化简求值专项练习题代数式及其化简求值一、代数式的定义：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方…）把数或者表示数的字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。如：1、学习代数式应掌握什么技能？掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式2、用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。例练：一个数的1/8与这个数的和；m与n的和的平方与m与n的积的和例练：用代数式表示出来（1）x的343倍（2）x除以y与z的积的商例练：代数式3a+b可表示的实际意义是_______________________二、代数式的书写格式：1、数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“•”代替，更不能省略不写。2、数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。3、两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如：4、当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。5、含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。6、如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。如：甲同学买了5本书，乙同学买了a本书，他们一共买了（5+a）本7代数式求值步骤：（1）确定代数式中的字母（2）确定字母所代表的数（3）将字母所代表的数带入到字母求解典型例题代数式求值类型及方法总结1、直接代入法：例练：当a=1/2，b=3时求代数式2a2+6b-3ab的值例练：当x=-3时，求代数式2x2+x3的值2、先化简再求值例练：已知：m=1/5,n=-1,求代数式3(m2n+mn)-2(m2n-mn)-m2n的值3、整体代入例练：已知：x+x1=3,求代数式(x+x1)2+x+6+x1的值2例练：已知当x=7时,代数式ax5+bx-8=8,求x=7时,8225xbxa的值.例练：若ab=1，求11bbaa的值例练：已知yxyxyxyxyx2232311，求的值4、归一代入例练：已知a=3b,c=4a求代数式cbacba65292的值5、利用性质代入例练：已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于1，求代数式a+b+x2-cdx的值6、取特殊值代入例练：设a+b+c=0,abc＞0,求acb+bac+cba的值是A-3B1C3或-1D-3或-1解决本类问题的关键在于化简，可能是单方向化简然后求值，即通过整式乘除，因式分解化简成一个最简单的代数式，然后代入字母对应的数字解决问题；也可能是双向化简，即从条件和问题同时入手化简。找到两者对应关系后进行代入求值。代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值2．利用乘法公式求值3．设参数法与换元法求值4．利用非负数的性质求值5．利用分式、根式的性质求值举例分析1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即3所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．例6：已知1,0,xyzabcabcxyz求222222xyzabc的值4u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即(x-2)2+|3x-y|=0．5所以yx=62=36．例9未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即(mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．6同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有一般题型1、先化简，再求值：12112xx，其中x＝－2．2、先化简，再求值：，其中a=﹣1．3、先化简，再求值：错误!未找到引用源。，其中x=错误!未找到引用源。．4、先化简，再求值：错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。．※5、先化简，再求值错误!未找到引用源。，其中x满足x2﹣x﹣1=0．6、化简：bababab3a7、先化简，再求值：错误!未找到引用源。，其中a=错误!未找到引用源。．8、先化简错误!未找到引用源。，再从﹣1、0、1三个数中，选择一个合适的数作为x的值代入求值．9、先化简，再求值：（错误!未找到引用源。+1）÷错误!未找到引用源。，其中x=2．10、先化简，再求值：3x–3–18x2–9，其中x=10–311、先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．错误!未找到引用源。．12、先化简，再求值：12xx(xx1-2),其中x=2.13、先化简，再求值：错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。．7※14、先化简22()5525xxxxxx，然后从不等组23212xx的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．15、先化简，再求值：62296422aaaaa，其中5a．16、先化简，再求值：232()111xxxxxx，其中32x．17、先化简。再求值：2222121111aaaaaaa，其中12a。18、先化简，再求值：1＋1x－2÷x2－2x＋1x2－4，其中x＝－5．※19、先化简再计算：22121xxxxxx，其中x是一元二次方程2220xx的正数根.20、化简，求值：111(11222mmmmmm），其中m=3．21、（1）化简：错误!未找到引用源。÷错误!未找到引用源。．（2）化简：22ababba(ab)aa22、先化简，再求值：错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。．23.先化简分式2223691,x1211xxxxxxx再取恰的的值代入求值.24、先化简再求值121112222aaaaaa其中a=3+125、化简错误!未找到引用源。，其结果是错误!未找到引用源。．26、先化简，再求值：(xx－2－2)÷x2－16x2－2x，其中x＝3－4．27、先化简，再求值：x2＋4x＋4x2－16÷x＋22x－8－2xx＋4，其中x＝2.28、先化简，再求值：232()224xxxxxx，其中34x．29、先化简，再求值：2()11aaaaa，其中21.a30、先化简，再求值：2211()11aaaa，其中2a31、（1）化简：错误!未找到引用源。．（2）2111xxx（3）aaaa1)1(32．（1）abababba)(2。（2）计算221()abababba833、先化简，再求值：22111aaa，其中21a．34、化简：．35．先化简，再求值：2121-1aaa，其中21a．36、先化简x2＋2x＋1x2－1－xx－1，再选一个合适的x值求值.39、当2x时，求22111xxxx的值．40、先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值：2)22444(22xxxxxxx41、先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值。2011aa2-2a+1÷(a+1a2-1+1)42、先化简，再求值：错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。．43、先化简：（错误!未找到引用源。）÷错误!未找到引用源。．再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．44、先化简，再求值．（x+1）2+x（x﹣2）．其中错误!未找到引用源。．45、（2011•常德）先化简，再求值，（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）÷错误!未找到引用源。，其中x=2．46、先将代数式11)(2xxx化简，再从－1，1两数中选取一个适当的数