郑州大学-自动控制原理第四章PPT

第四章根轨迹法根轨迹法伊凡思（W.R.Evans)提出：闭环极点的图解法开环零极点的分布闭环极点随参数的变化轨迹分析系统规则4.1控制系统的根轨迹一、根轨迹、根轨迹法的基本概念举例说明(0.51)KGsss()()1()CsGssRsGs-()s()Rs()Cs()Gs120;2pp两个开环极点22Kss,22kkKss22kssk零极点表达式1200;2kss1211kss1,211jk-1ks1,21011ksk相等实根不等实根开环极点共轭复数根2()20Dsssk0j211k0k二阶系统根轨迹※根轨迹：指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环极点在s平面上移动的轨迹。()1()()0DsGsHs()()1GsHs根轨迹方程()()180360(0,1,2)GsHsii()()1GsHs1、幅值条件二、绘制根轨迹依据的条件-()s()Rs()Cs()Gs()Hs2、相角条件()()(180360)()()1(0,1,2)jGsHsjiGsHseeim11|||G(s)H(s)|1||iiniikszsp即mnii11G(s)H(s)(s-z)-(s-p)ii2p3pj01p1z已知系统开环传递函数其开环零、极点如图所示。123()()()()()kszGsHssspsp1s1z1p2p112311111213()()()()()()=180360zpppGsHsszspspspi1121311sspspksz3、举例说明幅值条件相角条件3p※根轨迹的绘制过程为：（1）寻找平面上所有满足相角条件的s；（2）利用幅值条件确定各点的k值。4.2绘制根轨迹的基本规则12m12n(z)(z)(z)()()()()()ksssGsHsspspsp设控制系统的开环传递函数为11(z)()mjjniikssp(1,2,,);(1,2,,)jiszjmspin式中,为系统的开环零点为系统的开环极点.一.根轨迹的分支数n阶系统根轨迹有n个分支，也等于开环极点数目。二.根轨迹的对称性和连续性根轨迹各分支连续且关于实轴对称。12n12m()()()(z)(z)(z)0spspspksss三.根轨迹的起点和终点12n0,()()()0kspspsp当时(1,2,,)ispin根轨迹起于开环极点12n12,()()()(z)(z)(z)0mkspspspsssk当时z(1,2,,)isim根轨迹终止于开环零点四.根轨迹的渐近线渐近线与实轴正向夹角：(21)alnm0,1,2,,1lnm渐近线与实轴的交点：11aznmijijpnm举例求下面闭环特征方程式根轨迹的渐近线2(4)(22)(1)0ssssks0j35142(1)(4)(22)ksGsHsssss解：系统的开环零极点分布如右图所示。1先看试验点s1点：②成对出现的共轭零点z1、z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°；④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°；2再看s2点：①成对出现的共轭极点p3、p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；同样s3点也不是根轨迹上的点。举例说明五.实轴上的根轨迹2s3s1s1z3p4p2p1p2z3412所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[-p2,-p1]为实轴上的根轨迹。不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。实轴上某段区域右边的开环实数零点和开环实数极点总数为奇数时，这段区域必为根轨迹的一部分。01p2p3p1z°°j2z4p结论六.根轨迹与实轴的交点分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。b)KK°°a）0K0Kdd※根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。分离点会合点分离点（或会合点）坐标值的求取方法:000KBsGsHsAsSDsAsKBsDsAsKBsAsBsAsBs令方程出现重根的条件是必须同时满足下列方程由上述两式导出确定分离点和会合点的方程11()()d0dsniimjjSPSZS0dKds即-2-10例1.已知某负反馈系统开环传递函数为()()(1)(2)kGSHSSSS试画出其根轨迹。解：123(1)(2)0,0,1,2sssppp令解得1、根轨迹分支数等于3；2、根轨迹起点和终点；3、根轨迹的渐近线：n=3,m=0,三条11az012013nmijijpnm渐近线与实轴正向夹角分别是(21),(0.1.2),60,180,60allnm-2-10dds212[(1)(2)]036200.4231.577()ssss舍5、根轨迹与实轴会合点的坐标：4、实轴上的根轨迹:(,2),(1,0)七.根轨迹与虚轴的交点方法1Re[1G(j)H(j)]0Im[1G(j)H(j)]0令1()()01G(j)H(j)0sjGsHs把代入得26ck上例中()()(1)(2)kGSHSSSS32320sssk23-3k0-20ck32-j-3j2k0方法2应用劳斯判据上例中()()(1)(2)kGSHSSSS32320sssk3s122s3k1s0sk劳斯表如下63k6=0,63ckk令得2()30cFssk辅助方程为解之得2sj八.根轨迹的出射角与入射角出射角根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正向的夹角。入射角根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正向的夹角。02zj1p2p1z1s1z°°1p1112180)mnjijipzpp1z1112180nmijijzpzzj1p2p3p1s1p3p2p1z1z°0例2.已知某负反馈系统开环传递函数为2(1)()()33.25ksGsHsss试画出其根轨迹。解：21,2133.250,1.510-1sspjsz令解得令,解得1、根轨迹分支数等于2；2、根轨迹起点和终点；3、根轨迹的渐近线：n=2,m=1,只有一条，是负实轴；4、实轴上的根轨迹:(,1)5、根轨迹与实轴会合点的坐标：2s=21233.250120.250-2.12,0.12(dssdss解得舍去)j06、求出射角11112180()()180116.690206ppzpp2206pj0九.闭环极点的和与积设系统的特征方程为：1110()0nnnDssasasa12()()()()0nDsssssss根据代数方程根与系数的关系，可得出11ninisa01()niisa对于稳定的控制系统有01niisa01()niisa321()()0320GsHssssk1,23.()()(1)(2)2..kGsHsssssjs例已知系统的根轨迹与虚轴相交时的两个闭环极点试确定这种情况下的第三闭环极点解：1233sss31233223sssjj1236cksss十.放大倍数的求取m11|||G(s)H(s)|1||iiniikszsp1m1||||nliilljjspksz对应于根轨迹上确定点sl幅值条件例3.已知某负反馈系统开环传递函数为2()()(2.73)(22)kGsHsssss试画出其根轨迹。解：21234(2.73)(22)0,0,1,1,2.73ssssppjpjp令解得1、根轨迹分支数等于4；2、根轨迹起点和终点；3、根轨迹的渐近线：n=4,m=0,四条11az0112.731.184nmijijpjjnm渐近线与实轴正向夹角分别是(21),(0,1,2,3),45,135,135,45allnm-2.7302[(2.73)(22)]02.06dsdsssss解得5、根轨迹与实轴会合点的坐标：4、实轴上的根轨迹:(2.73,0)6、根轨迹与虚轴交点的坐标：1()()01G(j)H(j)0sjGsHs把代入得Re[1G(j)H(j)]0Im[1G(j)H(j)]0令1.077.28ck7、根轨迹的出射角：2212324180()()()ppppppp-2.7301p2p3p4p180135903075-2.730系统的根轨迹图8、闭环极点的和与积系统的特征方程为432()4.737.465.460Dsssssk123412344.73()()()()ssssssssk系统处于临界稳定状态时，1,21.07,7.28csjk3434124.737.286.3ssssss3,42.3650.84sj4.3控制系统的根轨迹分析一、开环零点和极点对根轨迹的影响1、增加开环极点的影响（增加一个惯性环节）2、增加开环零点的影响（加入一阶微分环节）二、利用根轨迹分析控制系统的性能j0j01、增加开环极点的影响一、开环零点和极点对根轨迹的影响j02、增加开环零点的影响j0二、利用根轨迹分析控制系统的性能例1设负反馈系统的开环传递函数为求系统闭环根轨迹，并分析k的变化对系统的影响。4()()2ksGsHsss解:0241k2k0241k2k220.70712(2)[]041.18,6.84dsdssss解得根轨迹与实轴交点的坐标：11.18(21.18)/(41.18)0.34k211.69k（1）当0k0.34时，闭环有两实极点，响应为非周期的；（2）当0.34k11.69时，阶跃响应为衰减振荡过程；（3）当k11.69时，阶跃响应又同（1），但动态过渡过程较快些；1212312j0xxxx（1）绘出根轨迹，分析系统稳定性；（2）估算时的K值。例2单位反馈系统如图所示，16.3%p解:0.50.51,20.73j1.27s40.73j1.27210.41k10.41160.65K-4(0.51)Ks()Rs()Cs21(2)e100%16.3%p(1)绘出根轨迹如图所示(过程略）1s4(22)64ck64/164cK例3.已知某负反馈系统开环传递函数为()()(1)(2)kGSHSSSS试确定使系统具有欠阻尼阶跃响应特性的k的取值范围，并计算闭环主导极点具有阻尼比时的动态性能指标。0.5jω×××-1-2σ-0.422j2jkc=6(1)绘出根轨迹如图所示0.4210.420.581.580.38k系统具有欠阻尼阶跃响应特性的k的取