同角三角函数的基本关系ppt

一、创设情境：M问题2.如图1，三角函数线是：正弦线；余弦线；正切线.yxxy)0(xMPOMAT)0,1(ATcos；tansin；问题3.三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题1.如图1，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于，那么),(yxPOxyP图1二、探究新知：问题⑵当角的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？对于任意角都有)(,R结论：1cossin22平方关系问题⑴当角的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？（如图2）1、探究同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2222OPOMMP122xy当角的终边在坐标轴上时,x110cossin22101cossin22y当角的终边在坐标轴上时,1cossin22OPOM角的正弦线，余弦线,半经三者的长构成直角三角形，而且，由勾股定理得因此，即MP1OP质疑：①能写成吗？②“同角”是什么含义？2sin2sin（不能）（一是“角相等”，二是对“任意一个角”）2.观察任意角的三角函数,siny,cosx)0(,tanxxytancossin商的关系问题：tancossin你们能否结合正切线，利用相似三角形的性质对关系式作出解释有什么样的关系呢？、、tancossin思考：注：商的关系不是对任意角都成立,是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立),2(Zkk2.观察任意角的三角函数的定义,siny,cosx)0(,tanxxytancossin商的关系注：商的关系不是对任意角都成立,是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立),2(Zkk有什么样的关系呢？、、tancossin思考：问题：tancossin你们能否结合正切线，利用相似三角形的性质对关系式作出解释同一角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切结论：例题6的值，求已知tan,cos53sin解：2516)53(1sin1cos222当是第三象限角时，0cos542516cos43)54()53(cossintan当是第四象限角时，0cos542516cos4354)53(cossintan例题互动自我诊断：43cossintan54sin1cos53sin2得得解：由如何应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值及恒等证明等问题1sin0sin且是第三或第四象限角角得由1cossin22讨论交流：特点、公式1cossin122移项变形：2222cos1sinsin1cos{常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解。注：在开方时，由角所在的象限来确定开方后的符号。即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1{sin是一、四象限时当是二、三象限时，当,sin1sin122{cos的特点、公式tancossin2变形：tansincos由正弦正切，求余弦tancossin由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切注：所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的。例题7xxxxcossin1sin1cos求证于是，知由,0sin1,1sin0cosxxx证法一：左边右边xxxxxxxxxxxxcossin1cos)sin1(cossin1)sin1(cos)sin1)(sin1()sin1(cos22证法二：所以原式成立0cos,0sin1cossin1)sin1)(sin1(22xxxxxx且因为所以xxxxcossin1sin1cos发散思维提问：本题还有其他证明方法吗？交流总结证明一个三角恒等式的方法,注意选择最优解三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系注：要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）（3）证明左、右两边等于同一式子三、应用反馈：的值，求、已知问题cos,sin3tan1解：cossintan0tan为第二或第四象限角3cossin1cossin22{43sin41cos22{解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin为第四象限角时当为第二象限角时当1cossin22tancossin{方程(组)思想xxxxxxtan1tan1sincoscossin21222、求证问题证法一：xxxxxxxxxxxxxxxxxxsincossincos)sin)(cossin(cos)sin(cos)sin)(cossin(coscossin2cossin222左边xxxxxxxxsincossincoscos)tan1(cos)tan1(右边左边=右边所以原等式成立左边中间右边所以原等式成立左边右边右边左边xxxxxxxxxxxxtan1tan1cos)sin(coscos)sin(cossincossincos证法二：四、归纳总结：（2）三角函数值的计算与证明利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论。证明时常用方法：方法1：从一边开始证明它等于另一边；方法2：证明原等式的等价关系，方法3：证明左、右两边等于同一式子；在化简证明过程中要注意两边都有意义的条件下才恒等。（1）同角三角函数的基本关系式R,1cossin22),2(,tancossinZkkcossintan,1cossin22（前提是“同角”，因此）本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法（应用极为广泛；巧用“1”，）22cossin1五、拓展延伸：）的关系式吗？（的基本关系推导出更多你能利用同角三角函数的一个变形，就是可以看出，从例题题第组422221cossincossin1sin1cos7BPxxxxxx的变形也是所以解：1cossincossin21cossincossin21cossin1coscossin2sin1)cos(sin1cossin2222442244422422222xxxxxxxxxxxxxxxxxx的变形和是所以时，可得：当解：xxxxxxxxxxxxxxxxtancossin1cossincos11tancos11tancos1coscossin0cos1cossin222222222222等等。；变形得,cos1tan1cossin21cossin1cossin22224422xxxxxxxx六、课堂作业P20练习1、4、5课外作业P219——13