BCS理论

BCS理论赵猛2016年11月1.超导体超导体是指当某种导体在一定的温度下，可使导体电阻为零的导体。零电阻和抗磁性是超导体的两个重要特性，也称为超导现象。使超导体电阻为零的温度，叫超导临界温度。超导的微观解释电子间的直接相互作用是相互排斥的库仑力。如果仅仅存在库伦直接作用的话，电子不能形成配对。但电子间还存在着以晶格振动（声子）为媒介的间接相互作用，电子间的这种相互作用是相互吸引的，正是这种相互作用导致了“库伯对”的产生。其机理如下：电子在晶格中移动时会吸引临近格点上的正电荷，导致格点的局部畸变，形成一个局域的高正电荷区。这个区域的高正电荷区会吸引自旋相反的电子，和原来的电子以一定的结合能相结合配对。在很低的温度下，这个结合能可能高于晶格原子振动的能量，这样，电子对将不会和晶格发生能量交换，也就没有电阻，这就形成了“超导”。2.BCS理论的建立•1957年在伊利诺大学的B.D.Bardeen、L.N.Cooper和J.R.Schrieffer为了正确解释超导现象，发表了著名并且完整的超导微观理论，称为BCS理论，•BCS理论由美国物理学家巴丁、库珀和施里弗于1957年首先提出，以这三位科学家姓名的第一个大写字母命名这一理论。BCS理论的内容BCS理论把超导现象看作一种宏观量子效应。它提出，晶格的振动是自旋和动量都相反的两个电子组成动量为零的库珀对，所以根据量子力学中物质波的理论，库珀对的波长很长，以至于其可以绕过晶格缺陷杂质流动从而无阻碍地形成电流。3.建立BCS理论的实验基础经典理论对超导电性产生的原因无法解释。在量子理论建立后不久，F.伦敦就指出，超导环内的磁通是量子化的。因此，超导电性是宏观世界的量子现象。3.1.超导相变是电子态相变超导相变：超导体由正常态变为超导态称为超导相变。实验：对Pb、Sn等超导金属的正常态和超导态，都分别作X射线衍射图、中子散射谱、Mossbauer谱，发现两者均没有明显变化。实验表明超导相变不影响晶格点阵的结构和振动，揭示了超导相变不是由晶格引起的，而是电子态相变。3.2.超导能隙对超导态电子比热容的精确测量，发现电子比比热呈现很好的指数关系。实验证明，超导态的电子能谱与正常态不同，在费米能EF（最低激发态与基态之间）附近出现了一个半宽度为Δ能量间隙。eV10~104-3-拆散一个电子对（库珀对）产生两个单电子至少需要能隙宽度2Δ的能量。热运动可以拆散电子对产生单电子。能隙的存在使得在温度T远低于临界温度Tc时，超导体中单电子（正常电子）的数目按exp(-2Δ/kT)变化。这就导致超导体的电子比热容和热导率按温度指数规律变化。实验给出超导态电子的比热Ces随温度变化规律曲线1.比热2.远红外吸收当电磁波（微波或远红外线）的频率足够高（hv≥Δ）时，同样可以激发电子。此时超导体会强烈的吸收电磁波。在以超导体为一个电极的隧道结中，当结电压足够高（V≥Δ/e）时，大量的电子对被拆散，形成单电子参与隧道过程，使隧道电流在V=Δ/e处突然上升，若隧道结的两个电极都是超导体，能隙为Δ1、Δ2，则在V=(Δ1+Δ2)/e处突然上升，证明能隙的存在。超导能隙：发生超导转变是由于超导电子凝聚到一个能隙以下，体系能量降低；而且这些电子是长程有序的，可见电子之间必然存在相互作用。一般认为，电子之间存在库伦排斥作用，不能导致体系能量的降低。只有电子之间存在相互吸引才能导致体系能量的降低。能隙的存在表示要使一个电子跳过能隙，必须拆散电子之间的吸引作用，因此，能隙是由于电子之间的相互吸引作用造成的。电子间还存在着以晶格振动（声子）为媒介的间接相互作用，电子间的这种相互作用是相互吸引的。3.3.同位素效应1950年英国弗洛里希注意到，临界温度较高的超导体在常温下是导电性很差的材料。其电阻率一般很大，这表明电子-声子相互作用很强；相反，在常温下导电性很好的材料如：贵金属等，其电阻率很小，这说明电子-声子之间的相互作用很弱，在低温下却不是超导体。所以他认为：电子-声子相互作用在高温下是产生电阻的主要原因，而在低温下却是导致超导的主要原因。他预言：超导体的临界温度Tc与原子的同位素质量M之间存在简单的关系：TcMɑ=常数1950年，麦克斯韦和雷诺各自独立测量了水银同位素的临界转变温度。如图。实验发现，Hg等超导体同位素的临界温度Tc与同位素质量M之间满足：TcMɑ=常数这说明：在晶体中，原子被同位素代替后，核外电子的状态不变，但M的改变会对Tc产生影响，这种效应被称为同位素效应。同位素效应揭示了晶格点阵对于超导态到正常态的传导电子行为有重要影响。图水银的同位素效应平均质量1-199.52-200.73-202.04-203.3同位素效应把晶格振动（声子）与电子联系起来了，它告诉人们电子-声子的相互作用于超导电性密切相关4.电子-声子相互作用•电子与声子的相互作用可以引起多种重要效果。如：可以使电子受到散射热产生电阻，也可以导致电子之间的吸引相互作用，这与超导现象的出现有关。在多电子系统与声子相互作用时可能出现：一个电子所发射的声子随后立即被另一个电子所吸收，从而形成电子与电子之间通过交换声子而产生间接的有效相互作用的情况。其中被交换的声子被称为虚声子。为简单起见，假设参与相互作用的两个电子的动量大小相等，方向相反。这样的电子所形成的电子对束缚态具有最低的能量。设两个电子的初态是波矢为（k，-k）的平面波，具有能量E=2εk（这里εk是k的偶函数）：两个电子的中泰是波矢为（k+q，-k-q）的平面波，具有能量Ef=2εk+q。这种过程如图：图中实线为电子，波纹线为声子图(a)表示波矢为k的电子e1发射一个声子-q，跃迁到波矢为k+q的状态。波矢为-k的电子e2吸收这一声子，波矢变为-k-q状态的过程。图(b)表示波矢为-k的电子e2发射一个波矢为q的声子，跃迁到波矢为-k-q的状态。波矢为k的电子e1吸收这一声子，波矢变为k+q状态的过程。这种有效的相互作用的能量可以通过二阶微扰理论进行计算。具体结果为：k-k-k-qk+q-qk-k-k-qk+qqe1e2e1e2qkkkkqkqkqqkkqqeffaaaaDH,,,,222)()(221其中：Dq是一个和电子与晶格之间的库仑吸引有关，与声子的频率有关，还与晶格点阵上的离子质量有关的量。它表示电子发射或吸收一个波矢为q的声子的单散射过程中电子和声子间的相互作用能。在超导问题的讨论中，感兴趣的是可以导致电子之间的间接吸引作用的电子-声子相互作用。由上式可以看出：当满足条件：时，上述相互作用能为负值，即两个电子之间会出现吸引相互作用。qqkk①在上述过程中自始至终保持动量守恒。即：在一个电子发射声子的过程中，和另一个电子吸收声子的过程中动量都是守恒的。当然，这也就保证了初态和终态之间的动量是守恒的。②对这种能导致电子之间吸引相互作用的过程，定性地也可简单理解如下：所谓电子发射虚声子，就是在该电子周围产生了晶格形变或极化，这会使正电荷向电子所在的位置靠拢以降低其静电能。这样，在该电子附近就造成局部正电荷密度的增加，而这就使得第二个电子向这个区域靠近。于是，在这两个电子之间就产生了一种有效的吸引作用。5.库珀对1956年，Cooper从理论上证明了费米面附近的电子若存在吸引相互作用，无论这一作用多微弱，自由电子气的基态都将不稳定，变为双电子束缚态。库珀对：考虑吸引相互作用后，无论多么弱，以含有大量电子的费米海为背景的两个电子，会形成一种低能束缚态，这种束缚的电子对被称为库柏对。两个电子系统的薛定谔方程为：考虑一对电子(r1,r2)，其余电子仍按自由电子气处理，用Ψ(r1,r2)表示其波函数。只考虑电子对质心静止的情况，则Ψ只是相对位置r1-r2的函数，可以展开成ak表示一个电子处在k态,另一个电子处在-k态时的概率幅。因为费米面内的状态已填满,所以当kkF时有：ak=0。将上式代入薛定谔方程后可得：),(),()()(221212122212rrErrrrVm两边乘以并对r1,r2积分可得：其中：而计算中已取：金属的体积为1和)()(21222122121)()()()(2rrkikrrkikekaEekarrVm)()(21)(2222212121)()()()(22rrkikkrrkirrkiekEaekarrVekamkmk)(21rrkiekkkkaVkakE)()()](2[,mkk2)(22rderVVrkkikk)(,)(21rrr若两个电子的相互作用是吸引的，可以设：这里ωD为德拜频率，V为大于零的常量。该式的意义就是说：假定两个电子只在费米能EF以上能量为ħωD的范围内有吸引相互作用，且大小不变恒为V。当然这是一种简单化的处理。设是一个与k′无关的常量则有：所以有其他情况0)(,)(DFFkkEkEkVVkkaVC)(CkakE)()](2[)(2)(kECkakkECVC)(2kEkV)(21把对k的求和换成对k的积分，上式可写为：注意到：为能态密度。上式可写为：考虑到：ħωDEF,所以可取：g(ε)≈g(EF)于是有kdEkV)(2)2(113kddkEVDFFEE))((2)2(13kdkg))(()2(1)(3DFFEEdgEV)(21DFFEEFdEEVg21)(1EEEEEVgFDFF222ln)(211在相互作用很弱，满足Vg(EF)1的情况下，并注意到两个电子就在费米面附近，即E与2EF的值是非常接近的，忽略掉等式右边的1。可得：由此可解出：在费米面之上加上两个额外的电子时，如果没有相互作用应E2EF。现在，考虑了吸引作用以后。无论V多小恒有两个电子的能量E2EF。EEEEEEeFDFDFEVgF221222)(2EEeFDEVgF22)(2EEeFDEVgF22)(2)(222FEVgDFeEE考虑吸引相互作用后，无论多么弱，以含有大量电子的费米海为背景的两个电子，会形成一种低能束缚态，这种束缚的电子对被称为库柏对。若再考虑到电子的自旋由于泡利原理的要求，费米面上动量大小相等，方向相反且自旋也相反的电子最容易形成库柏对。必须指出：库柏对是以含有大量电子的“费米海”为背景而形成的，并不是说孤立的有吸引相互作用的两个电子就能形成束缚态。库柏对中的两个电子间的距离约为：10-6m，相当于晶格常数的几千倍，因此这种相互作用是一种长程的电子间的关联效应。对于T0K，在0.5Tc以下，Δ(T)随温度T的增加而缓慢下降，在0.5Tc以上，Δ(T)随温度T的增加下降较快，在T=Tc处Δ=0，Tc附近的能隙表示为由BCS理论得到临界磁场与温度关系的经验公式6.BCS理论内容超导电性量子理论的基础是由Bardeen（导师）,Cooper（助手）,Schrieffer（博士生）在1957年发表的经典性文章中所确立的，被称为BCS理论。该理论是第一个比较全面的说明超导现象的微观理论。他们三人因此获1972年诺贝尔物理学奖。BCS理论的成就包括以下几个方面。T0K时，BCS理论从微观上对传统超导体的唯象理论作出了解释，其主要理论公式如下：在T=Tc，H=0时，BCS理论得到的超导临界温度公式式中N(0)表示单个自旋而言的费米能处电子的态密度，wD表示德拜频率，V表示电子-声子相互作用的耦合常数。以Δ(0)表示T=0K时的能隙，得到的能