圆小结与复习

第27章圆小结与复习要点梳理考点讲练课堂小结课后作业·一.与圆有关的概念1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2.弦:连结圆上任意两点的线段.3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.4.劣弧:小于半圆周的圆弧.5.优弧:大于半圆周的圆弧.要点梳理6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.[注意](1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.·9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.10.三角形的外接圆外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.[注意](1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.11.三角形的内切圆内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.[注意](1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.12.正多边形的相关概念(1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.二、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆内；d＜r点P在圆上；d=r点P在圆外.d＞r[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．2.直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离直线与圆的位置关系图形d与r的关系公共点个数公共点名称直线名称2个交点割线1个切点切线0个相离相切相交d＞rd=rd＜r三、圆的基本性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴.直径2.有关圆心角、弧、弦的性质.(1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆心角相等弧相等弦相等(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.三、有关定理及其推论1.垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的.[注意]①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．两条弧2.圆周角定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.3.与切线相关的定理(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.四、圆中的计算问题1.弧长公式半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.180nR2.扇形面积公式半径为R，圆心角为n°的扇形面积S=____________.2360nR12lR或3.弓形面积公式OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积(3)圆锥的侧面积为.[注意]圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．(4)圆锥的全面积为.lr2lrr4.圆锥的侧面积(1)圆锥的侧面展开图是一个.(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为.扇形l2r5.圆内接正多边形的计算(1)正n边形的中心角为360n(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系222().2aRr(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为11.22Snarlr其中l为正n边形的周长.考点一圆周角定理例1在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（）A.72°B.54°C.45°D.36°ABCDB135°1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是.CDBAPO图a针对训练2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点，∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于.OCABED图b50°考点二垂径定理例2工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.8mmAB8CDO解析设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.2AOBCEF图a3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE⊥AC,OF⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于.（针对训练3ABCDPO图bD’P4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96°和36°，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是.（（考点三与圆有关的位置关系B北60°30°AC例3如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘鱼轮在B处测得灯塔A在北偏东600的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东300的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.（参考数据=1.732）3解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.B北60°30°ACB北60°30°ACD解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.∵∠ABC=30°，∴AB=2x.BD=x.∵∠ACD=90°-30°=60°，∴AD=CD×tan60°，CD=.BC=BD-CD==8.解得x=333x233x4341.7326.9287.＜即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.5.☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（）A．点A在☉O内部B．点A在☉O上C．点A在☉O外部D．点A不在☉O上解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与☉O的关系.D针对训练例4如图，O为正方形对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.(1)求证：CD与☉O相切；ABCDOM(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM∵BC与☉O相切于点M,∴∠OMC=90°,∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上.∴AC是∠BCD的角平分线，∴ON=OM，∴CD与☉O相切.NABCDOM(2)解:∵正方形ABCD的边长为1,AC=.设☉O的半径为r,则OC=.又易知△OMC是等腰直角三角形，∴OC=因此有，解得.22r2r22rr22r（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径.方法归纳（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.6.（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O，∠AOD=30°,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒钟后☉P与直线CD相切.4或8解析：根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线AB下面与直线CD相切；(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切.针对训练ABDCPP2P1E例5已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；AB解：(1)连接OA、OB、OC，∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE，∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.∴∠DOE＝∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.12(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)(2)若PA＝4cm，求△PDE的周长．例6如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上,OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形OEF的面积？解：∵四边形OABC为菱形∴OC=OA=1∵∠AOC=120°，∠1=∠2∴∠FOE=120°又∵点C在以点O为圆心的圆上21201=3603S扇形OEFpp创\=考点四圆中的计算问题7.（1）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为.（2）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.40cm243针对训练8.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于_______．23p例7如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.∴AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.在Rt△AC'C中，得2222AC=AC'+CC'=16+8=85∴正方形ABCD外接圆的半径为45∴正方形ABCD的边长为ACAB=410222=45410=80160S阴影（）（）当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.方法总结909.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．⑴求正方形EFGH的面积；解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5.∵四边形EFGH是正方形，∴FG=EF=5，∴正方形EFGH的面积是25.针对训练⑵∵正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE=600.∴正方形的内角是900，∴∠OFG=∠OFE+∠EFG=600+900=1500.由⑴得OF=FG，∴∠OGF=（1800-∠OFG）=（1800-1500）=150.1212⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．考点五与圆有关的作图·abcda例8如何解决“破镜重圆”的问题：O·例9如何作圆内接正五边形怎么作？·OE72°BADC（1）用量角器作72°的中心角，得圆的五等分点；（2）依次连接各等分点，得圆的内接正五边形.考点六圆的综合[解析]连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC.例10如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.（1）求证：BC=2DE.解：（1）证明：连接BD，∵AB为直径，∠ABC=90°，∴BE切☉O