平面三角形单元有限元程序设计

1P9m9m一、题目如图1所示，一个厚度均匀的三角形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。已知：P=150N/m，E=200GPa，=0.25，t=0.1m，忽略自重。试计算薄板的位移及应力分布。要求：1.编写有限元计算机程序，计算节点位移及单元应力。（划分三角形单元，单元数不得少于30个）；2.采用有限元软件分析该问题（有限元软件网格与程序设计网格必须一致），详细给出有限元软件每一步的操作过程，并将结果与程序计算结果进行对比（任选取三个点，对比位移值）；3.提交程序编写过程的详细报告及计算机程序；4.所有同学参加答辩，并演示有限元计算程序。有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下：1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。2）单元分析，建立单元刚度矩阵。3）整体分析，建立总刚矩阵。4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵5）边界条件处理。6）解方程，求出节点位移。7）求出各单元的单元应力。8）计算结果整理。一、程序设计网格划分如图，将薄板如图划分为6行，并建立坐标系，则2刚度矩阵的集成建立与总刚度矩阵等维数的空矩阵，已变单元刚度矩阵的集成。由单元分析已知节点、单元的排布规律，继而通过循环计算求得每个单元对应的节点序号。通过循环逐个计算：（1）每个单元对应2种单元刚度矩阵中的哪一种；（2）该单元对应总刚度矩阵的那几行哪几列（3）将该单元的单元刚度矩阵加入总刚度矩阵的对应行列循环又分为3层循环：（1）最外层：逐行计算（2）中间层：该行逐个计算（3）最里层：区分为第奇/偶数个计算单元刚度的集成：''''''215656665656266256561661eZeeeZeZeeeekkkKkkkkkk边界约束的处理：划0置1法XYPXYP节点编号单元编号3适用：这种方法适用于边界节点位移分量为已知(含为0)的各种约束。做法：（1）将总刚矩阵〔K〕中相应于已知位移行主对角线元素置1，其他元素改为零；同时将载荷列阵｛R｝中相应元素用已知位移置换。◎这样，由该方程求得的此位移值一定等于已知量。（2）将〔K〕中已知位移相应的列的非主对角成元素也置0，以保持〔K〕的对称性。◎当然，在已知位移分量不为零的情况下，这样做就改变了方程左端的数值，为保证方程成立，须在方程右端减去已知位移对该方程的贡献——已知位移和相应总刚元素的乘积。◎若约束为零位移约束时，此步则可省去。特点：（1）经以上处理同样可以消除刚性位移(约束足够的前提下)，去掉未知约束反力。（2）但这种方法不改变方程阶数，利于存贮。（3）不过，若是要求出约束反力，仍要重新计算各个划去的总刚元素。程序如下：变量说明NNODE单元节点数NPION总结点数NELEM单元数NVFIX受约束边界点数FIXED约束信息数组NFORCE节点力数FORCE节点力数组COORD结构节点坐标数组LNODS单元定义数组YOUNG弹性模量POISS泊松比THICK厚度B单元应变矩阵(3*6)D单元弹性矩阵(3*3)S单元应力矩阵(3*6)A单元面积ESTIF单元刚度矩阵ASTIF总体刚度矩阵ASLOD总体荷载向量4ASDISP节点位移向量ELEDISP单元节点位移向量STRESS单元应力%**********************************************************%初始化clearformatshorte%设定输出类型clear%清除内存变量NELEM=36%单元个数（单元编码总数）NPION=28%结点个数（结点编码总数）NVFIX=2%受约束边界点数NFORCE=1%结点荷载个数YOUNG=2e11%弹性模量POISS=0.25%泊松比THICK=0.1%厚度LNODS=[123;245;253;356;478;485;589;596;6910;71112;7128;81213;8139;91314;91410;101415;111617;111712;121718;121813;131819;131914;141920;142015;152021;162223;162317;172324;172418;182425;182519;251926;192620;202627;202721;212728]%单元定义数组（单元结点号）%相应为单元结点号（编码）、按逆时针顺序输入COORD=[00;-0.751.5;0.751.5;-1.53;03;1.53;-2.254.5;-0.754.5;0.754.5;2.254.5;-36;-1.56;06;1.56;36;-3.757.5;-2.257.5;-0.757.5;0.757.5;2.257.5;3.757.5;-4.59;-39;-1.59;09;1.59;39;4.59]%结点坐标数组%坐标：x，y坐标（共NPOIN组）FORCE=[10-15]%结点力数组（受力结点编号,x方向,y方向）FIXED=[2211;2811]%约束信息（约束点，x约束，y约束）%有约束为1，无约束为0%**********************************************************%生成单元刚度矩阵并组成总体刚度矩阵ASTIF=zeros(2*NPION,2*NPION);%生成特定大小总体刚度矩阵并置0%**********************************************************fori=1:NELEM5%生成弹性矩阵DD=[1POISS0;POISS10;00(1-POISS)/2]*YOUNG/(1-POISS^2)%**********************************************************%计算当前单元的面积A=-det([1COORD(LNODS(i,1),1)COORD(LNODS(i,1),2);1COORD(LNODS(i,2),1)COORD(LNODS(i,2),2);1COORD(LNODS(i,3),1)COORD(LNODS(i,3),2)])/2%**********************************************************%生成应变矩阵Bforj=0:2b(j+1)=COORD(LNODS(i,(rem((j+1),3))+1),2)-COORD(LNODS(i,(rem((j+2),3))+1),2);c(j+1)=-COORD(LNODS(i,(rem((j+1),3))+1),1)+COORD(LNODS(i,(rem((j+2),3))+1),1);endB=[b(1)0b(2)0b(3)0;0c(1)0c(2)0c(3);c(1)b(1)c(2)b(2)c(3)b(3)]/(2*A);B1(:,:,i)=B;%**********************************************************%求应力矩阵S=D*BS=D*B;ESTIF=B'*S*THICK*A;%求解单元刚度矩阵a=LNODS(i,:);%临时向量,用来记录当前单元的节点编号forj=1:3fork=1:3ASTIF((a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)=ASTIF((a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)+ESTIF(j*2-1:j*2,k*2-1:k*2);%根据节点编号对应关系将单元刚度分块叠加到总刚%度矩阵中endendend%**********************************************************%将约束信息加入总体刚度矩阵（对角元素改一法）6fori=1:NVFIXifFIXED(i,2)==1ASTIF(:,(FIXED(i,1)*2-1))=0;%一列为零ASTIF((FIXED(i,1)*2-1),:)=0;%一行为零ASTIF((FIXED(i,1)*2-1),(FIXED(i,1)*2-1))=1;%对角元素为1end%**********************************************************%生成单元刚度矩阵并组成总体刚度矩阵%**********************************************************ifFIXED(i,3)==1ASTIF(:,FIXED(i,1)*2)=0;%一列为零ASTIF(FIXED(i,1)*2,:)=0;%一行为零ASTIF(FIXED(i,1)*2,FIXED(i,1)*2)=1;%对角元素为1endend%**********************************************************%生成荷载向量ASLOD(1:2*NPION)=0;%总体荷载向量置零fori=1:NFORCEASLOD((FORCE(i,1)*2-1):FORCE(i,1)*2)=FORCE(i,2:3);end%**********************************************************%求解内力ASDISP=ASTIF\ASLOD'%计算节点位移向量ELEDISP(1:6)=0;%当前单元节点位移向量fori=1:NELEMforj=1:3ELEDISP(j*2-1:j*2)=ASDISP(LNODS(i,j)*2-1:LNODS(i,j)*2);%取出当前单元的节点位移向量endiSTRESS=D*B1(:,:,i)*ELEDISP'%求内力end（程序计算结果和有限元软件得出的结果稍有偏差，可能是程序某些地方数据输入时出了问题，还在寻找具体原因）7二、有限元软件分析设置材料参数建模8网格划分边界约束添加载荷9