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函数实际应用型问题第40讲┃函数实际应用型问题函数实际应用型问题是把题中数量关系抽象为函数模型，如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数，进而应用函数进行分析、研究、解决有关问题．函数问题的实质是研究两变量之间的对应关系，用函数思想构建数学模型解决实际问题．第40讲┃函数实际应用型问题例1[2013·徐州]为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：探究一分段函数实际应用每月用气量单价(元/m3)不超出75m3的部分2.5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a＋0.25第40讲┃函数实际应用型问题(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费________元；(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图40－1所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用天然气175m3(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？图40－1150第40讲┃函数实际应用型问题例题分层分析(1)观察表格，你能获得哪些信息？3月份的用气量为60m3，该如何缴费？(2)从折线统计图你能得到什么？折线分为哪几段？表中a对应图中的什么？结合图象与表格能求出a.(3)从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x之间的函数关系式．(4)设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气(175－x)m3，分3种情况：①x＞125，175－x≤75时，②75＜x≤125，175－x≤75时，③75＜x≤125，75＜175－x≤125时，分别建立方程求出其解．第40讲┃函数实际应用型问题解题方法点析解分段函数问题的一般策略：(1)分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线，解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应．(2)分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，求解析式时要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值．(3)分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用．第40讲┃函数实际应用型问题第40讲┃函数实际应用型问题第40讲┃函数实际应用型问题(3)设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气(175－x)m3，当x＞125，175－x≤75时，3x－50＋2.5(175－x)＝455，解得x＝135，175－135＝40，符合题意；当75＜x≤125，175－x≤75时，2．75x－18.75＋2.5(175－x)＝455，解得x＝145，不符合题意，舍去；当75＜x≤125，75＜175－x≤125时，2．75x－18.75＋2.75(175－x)－18.75＝455，此方程无解．∴乙用户2、3月份的用气量分别是135m3，40m3.第40讲┃函数实际应用型问题例2[2012·青岛]在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图40－2所示．(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；探究二函数与经济方案设计图40－2第40讲┃函数实际应用型问题(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．第40讲┃函数实际应用型问题例题分层分析(1)如何通过平面直角坐标系中点的坐标求出一次函数的关系式？(2)通过单件利润、数量与总利润之间的关系，如何求出关系式？(3)如何通过二次函数的最值问题求出最大利润？第40讲┃函数实际应用型问题解题方法点析(1)方案设计型问题要求以方案设计的形式解决数学问题，问题情境包含实际问题情景和数学问题情境，设计目标有图形设计问题、测量方案问题、经济方案问题等，它一般包括“问题情境——模型建立——说明、应用和拓展”等具体求解过程．(2)在实际问题或数学问题中建立二次函数模型后，利用二次函数的最大(小)值可求最大利润、最大面积与最佳方案等问题．第40讲┃函数实际应用型问题第40讲┃函数实际应用型问题(2)w＝(x－6)(－30x＋600)＝－30x2＋780x－3600，即w与x之间的函数关系式为w＝－30x2＋780x－3600.(3)由题意得6(－30x＋600)≤900，解得x≥15.w＝－30x2＋780x－3600，图象的对称轴为x＝－7802×（－30）＝13.∵a＝－30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，∴当x＝15时，w最大＝1350.即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．第40讲┃函数实际应用型问题例3[2012·临沂]小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完．小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y(单位：千克)与上市时间x(单位：天)的函数关系如图40－3①所示，樱桃价格z(元/千克)与上市时间x(单位：天)的函数关系如图②所示．探究三从函数图象上获取信息图40－3第40讲┃函数实际应用型问题(1)观察图象，直接写出日销售量的最大值；(2)求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数表达式；(3)试比较第10天与第12天的销售金额哪天多．120千克第40讲┃函数实际应用型问题例题分层分析(1)通过观察图象，哪个数值是日销售量的最大值？(2)分别从0≤x≤12时与12＜x≤20时去分析，如何求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数表达式？(3)第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5＜x≤15时，如何求樱桃价格z与上市时间x的函数表达式？第40讲┃函数实际应用型问题解题方法点析图象信息题解题技巧：(1)解图象信息问题的关键是化“图象信息”为“数学信息”，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．(2)在探索两个变量之间的关系时，注意是否均匀变化或两个变量的一对对应值不变，归纳出相应的关系式．第40讲┃函数实际应用型问题第40讲┃函数实际应用型问题第40讲┃函数实际应用型问题探究四图形的最大面积例4[2013·潍坊]为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图40－4所示的休闲文化广场．在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB＝243米，∠BAC＝60°.设EF＝x米，DE＝y米．图40－4第40讲┃函数实际应用型问题(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13？第40讲┃函数实际应用型问题例题分层分析(1)Rt△ABC中已知条件是什么？从中你能求出哪些边角？(2)图中还有哪些直角三角形？这些直角三角形边角关系能不能用x，y来表示呢？根据AD＋DE＋BE＝AB，列出y与x之间的关系式．(3)也可以过C点作AB边上的高，利用相似三角形GCF与三角形ACB相似，且相似三角形对应高的比等于相似比求出y与x之间的关系式．(4)先证明两弯新月的面积＝△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出两弯新月的面积，然后根据矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解．第40讲┃函数实际应用型问题解题方法点析利用二次函数求几何图形的最大面积的方法是：1．用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形面积相关的量；2．根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示出这个面积；3．根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值．当－b2a不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值．第40讲┃函数实际应用型问题解(1)在直角△ABC中，由题意可得AC＝123米，BC＝36米，∠ABC＝30°，∴AD＝DGtan60°＝x3＝33x，BE＝EFtan30°＝3x.又AD＋DE＋BE＝AB，∴y＝243－433x(0＜x＜18)．(2)S矩形DEFG＝xy＝x243－433x＝－433(x－9)2＋1083，∴当x＝9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是1083平方米．第40讲┃函数实际应用型问题(3)记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则S1＝18πAC2，S2＝18πBC2，S3＝18πAB2.由AC2＋BC2＝AB2，可知S1＋S2＝S3，S1＋S2－S＝S3－S△ABC，∴S＝S△ABC，∴S＝12×123×36＝2163(平方米)．由－433(x－9)2＋1083＝13×2163，解得x＝9±33，符合题意，∴当x＝9±33时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13.