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直角三角形与勾股定理第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究考点1直角三角形的概念、性质与判定考点聚焦回归教材中考预测定义有一个角是________的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于______________(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于________________斜边的一半直角斜边的一半第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究回归教材中考预测(1)两个内角互余的三角形是直角三角形判定(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形拓展(1)SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC内切圆半径r＝a＋b－c2，外接圆半径R＝c2，即等于斜边的一半第21讲┃直角三角形与勾股定理考点2勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即：________勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系：________，那么这个三角形是直角三角形用途(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题勾股数能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数a2＋b2＝c2a2＋b2＝c2考点聚焦归类探究回归教材中考预测第21讲┃直角三角形与勾股定理考点3互逆命题、互逆定理及其关系考点聚焦归类探究回归教材中考预测互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它的______互逆定理若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的________，称这两个定理为互逆定理原命题逆命题逆定理第21讲┃直角三角形与勾股定理考点4命题、定义、定理、公理考点聚焦归类探究回归教材中考预测定义在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义命题定义判断一件事情的句子叫做命题分类正确的命题称为________错误的命题称为________组成每个命题都由______和______两个部分组成公理公认的真命题称为________定理除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为________真命题假命题条件结论公理证明定理第21讲┃直角三角形与勾股定理探究一直角三角形性质命题角度：1．直角三角形两锐角互余；2．直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．10考点聚焦归类探究回归教材中考预测归类探究例1[2013·鄂州]著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图21－1所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出的圆的半径为________cm.图21－1第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP＝12AB.∵AB＝20cm，∴OP＝10cm.第21讲┃直角三角形与勾股定理探究二利用勾股定理求线段的长度命题角度：1.利用勾股定理求线段的长度；2.利用勾股定理解决折叠问题．考点聚焦归类探究回归教材中考预测例2[2013·衢州]如图21－2，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为()A．3cmB.6cmC.3cmD.6cm图21－2D第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析过点C作CD⊥AD，∴CD＝3cm.在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)．又图中三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6cm，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝62cm，故选D.第21讲┃直角三角形与勾股定理勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第21讲┃直角三角形与勾股定理探究三利用勾股定理解决生活中的实际问题命题角度：1.求最短路线问题；2.求有关长度问题．考点聚焦归类探究回归教材中考预测例3[2013·安顺]如图21－3，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行()A．8米B．10米C．12米D．14米图21－3B第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．如图，设大树高为AB＝10米，小树高为CD＝4米，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形．连接AC，∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB－EB＝10－4＝6(米)．在Rt△AEC中，AC＝AE2＋EC2＝10米．故选B.第21讲┃直角三角形与勾股定理用勾股定理可以帮助我们解决生活中的许多实际问题，其关键是把实际问题转化到一个相应的数学模型中，即将实际问题转化到直角三角形中，再运用勾股定理来解决．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第21讲┃直角三角形与勾股定理探究四勾股定理逆定理的应用命题角度：勾股定理逆定理的应用．考点聚焦归类探究回归教材中考预测例4[2012·广西]已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③D第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32＋42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12＋(3)2＝22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③.故选D.第21讲┃直角三角形与勾股定理判断三个正数能否成为直角三角形的三边长，判断的主要方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第21讲┃直角三角形与勾股定理巧用勾股定理探求面积关系教材母题北师大版八上P26知识技能第4题回归教材考点聚焦归类探究回归教材中考预测在图21－4中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米．求正方形CDEF的面积．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，BC＝3厘米，AB＝4厘米，∴AC＝32＋42＝5(厘米)．在Rt△AFC中，∵∠FAC＝90°，AC＝5厘米，AF＝12厘米，∴FC＝52＋122＝13(厘米)．∴正方形CDEF的面积为13×13＝169(厘米2)．图21－4第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究回归教材中考预测中考预测1．如图21－5，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．图21－5312第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析第1个三角形的面积为12，第2个三角形的面积为12×(2)2＝1，第3个三角形的面积为12×22＝2，第4个三角形的面积为12×(8)2＝4，第5个三角形的面积为12×42＝8，故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为12＋1＋2＋4＋8＝312.第21讲┃直角三角形与勾股定理考点聚焦归类探究回归教材中考预测2．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图21－6是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.图21－6请解答下列问题：(1)S1＝________；(2)通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn＝________________.1＋381＋38·34n－1(n为整数)