9-结构可靠度分析与计算

第9章结构可靠度分析与计算教学提示：本章介绍了结构可靠度的基本原理和基本分析方法。并在此基础上，简述了相关随机变量的结构可靠度和结构体系的可靠度分析及计算方法。教学要求：学生应掌握结构可靠度基本概念，熟悉结构可靠度常用的计算方法。9.1结构可靠度的基本概念9.1.1结构的功能要求和极限状态工程结构设计的基本目的是：在一定的经济条件下，使结构在预定的使用期限内满足设计所预期的各项功能。《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB50068—2001)规定，结构在规定的设计使用年限内应满足下列功能要求。(1)能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用。(2)在正常使用时具有良好的工作性能。(3)在正常维护下具有足够的耐久性能。(4)在偶然事件发生时(如地震、火灾等)及发生后，仍能保持必需的整体稳定性。上述(1)、(4)项为结构的安全性要求，第(2)项为结构的适用性要求，第(3)项为结构的耐久性要求。这些功能要求概括起来称为结构的可靠性，即结构在规定的时间内(如设计基准期为50年)，在规定的条件下(正常设计、正常施工、正常使用维护)完成预定功能(安全性、适用性和耐久性)的能力。显然，增大结构设计的余量，如加大结构构件的截面尺寸或钢筋数量，或提高对材料性能的要求，总是能够增加或改善结构的安全性、适应性和耐久性要求，但这将使结构造价提高，不符合经济的要求。因此，结构设计要根据实际情况，解决好结构可靠性与经济性之间的矛盾，既要保证结构具有适当的可靠性，又要尽可能降低造价，做到经济合理。整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。极限状态是区分结构工作状态可靠或失效的标志。极限状态可分为两类：承载力极限状态和正常使用极限状态。(1)承载力极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适于继续承载的变形。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。①整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡(如倾覆、过大的滑移等)。②结构构件或连接因超过材料强度而破坏(包括疲劳破坏)，或因过度变形而不适于继续承载(如受弯构件中的少筋梁)。③结构转变为机动体系(如超静定结构由于某些截面的屈服，使结构成为几何可变体系)。第9章结构可靠度分析与计算·155··155·④结构或结构构件丧失稳定(如细长柱达到临界荷载发生压屈等)。⑤地基丧失承载力而破坏(如失稳等)。(2)正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。①影响正常使用或外观的变形(如过大的挠度)。②影响正常使用或耐久性能的局部损失(如不允许出现裂缝结构的开裂；对允许出现裂缝的构件，其裂缝宽度超过了允许限值)。③影响正常使用的振动。④影响正常使用的其他特定状态。9.1.2结构抗力结构抗力R是指结构或构件承受作用效应的能力，如构件的承载力、刚度、抗裂度等。影响结构抗力的主要因素是材料性能(承载力、变形模量等物理力学性能)、几何参数以及计算模式的精确性等。考虑到材料性能的变异性、几何参数及计算模式精确性的不确定性，所以由这些因素综合而成的结构抗力也是随机变量。9.1.3结构功能函数结构构件完成预定功能的工作状态可以用作用效应S和结构抗力R的关系来描述，这种表达式称为结构功能函数，用Z来表示：()ZRSgRS=−=，(9-1)它可以用来表示结构的3种工作状态(图9.1)。当0Z时，结构能够完成预定的功能，处于可靠状态。当0Z时，结构不能完成预定的功能，处于失效状态。当0Z=时，即RS=结构处于临界的极限状态，()0ZgRSRS==−=，，称为极限状态方程。结构功能函数的一般表达式12()0nZgXXX==，，，，其中(12)iXin=，，，为影响作用效应S和结构抗力R的基本变量，如荷载、材料性能、几何参数等。由于R和S都是非确定性的随机变量，故Z也是随机变量。图9.1结构所处的状态荷载与结构设计方法·156··156·9.1.4结构可靠度和可靠指标结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率，称为结构的可靠度。可见，可靠度是对结构可靠性的一种定量描述，亦即概率度量。结构能够完成预定功能的概率称为可靠概率Ps；结构不能完成预定功能的概率称为失效概率Pf。显然，二者是互补的，即Ps+Pf=1.0。因此，结构可靠性也可用结构的失效概率来度量，失效概率愈小，结构可靠度愈大。基本的结构可靠度问题只考虑由一个抗力R和一个荷载效应S的情况，现以此来说明失效概率的计算方法。设结构抗力R和荷载效应S都服从正态分布的随机变量，R和S是互相独立的。由概率论知，结构功能函数ZRS=−也是正态分布的随机变量。Z的概率分布曲线图如图9.2所示。图9.2功能函数Z的分布曲线0ZRS=−的事件出现的概率就是失效概率Pf：0(0)()dfPPZRSfZZ−∞==−=∫(9-2)式中，()fZ——结构功能函数Z的概率密度分布函数。失效概率fP就可以用图9.2中的阴影面积表示。如结构抗力R的平均值为Rμ，标准差为Rσ；荷载效应的平均值为Sμ，标准差为Sσ，则功能函数Z的平均值及标准差为：zRsμμμ=−(9-3)22zRSσσσ=+(9-4)结构失效概率fP与功能函数平均值Zμ到坐标原点的距离有关，取zzμβσ=。由图9.2可见，β与fP之间存在着对应关系。β值越大，失效概率fP就小；β值越小，失效概率fP就大。因此，β与fP一样，可作为度量结构可靠度的一个指标，故称β为结构的可靠指标。β值可按式(9-5)计算，得：22RSZZRSμμμβσσσ−==+(9-5)β与fP在数值上的对应关系见表9-1。从表中可以看出，β值相差0.5，失效概率fP大致差一个数量级。第9章结构可靠度分析与计算·157··157·表9-1β与fP的对应关系βfPβfP1.01.52.02.52.73.01.59×10-16.68×10-22.28×10-26.21×10-33.50×10-31.35×10-33.23.53.74.04.26.40×10-42.33×10-41.10×10-43.17×10-51.30×10-5由图9.2可知，失效概率fP尽管很小，但总是存在的。因此，要使结构设计做到绝对的可靠()RS是不可能的，合理的解答应该是把所设计的结构失效概率降低到人们可以接受的程度。【例9.1】某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为Ac=b×h=(300×500)mm2，配有4根直径为25的HRB335钢筋，Αs=1964mm2。设荷载服从正态分布，轴力N的平均值μN=1800kN，变异系数δN=0.10。钢筋屈服强度φy服从正态分布，其平均值μfy=380N/mm2，变异系数δfy=0.06。混凝土轴心抗压强度φc也服从正态分布，其平均值μfc=24.80N/mm2，变异系数δfc=0.20。不考虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指标β。解：(1)荷载效应S的统计参数。μS=μN=1800kN，σS=σN=μNδN=1800×0.10=180kN(2)构件抗力R的统计参数。短柱的抗力由混凝土抗力Rc=fcAc和钢筋的抗力Rs=fyAs两部分组成，即：R=Rc+Rs=fcAc+fyAs混凝土抗力Rc的统计参数为：μRc=Acμfc=500×300×24.8=3720kNσRc=μRcδfc=3720×0.20=744.0kN钢筋抗力Rs的统计参数：μRs=Asμfy=1964×380=746.3kNσRs=μRsδfy=746.3×0.06=44.8kN构件抗力R的统计参数：μR=μRc+μRs=3720+746.3=4466.3kNσR2222744.044.8745.3kNRcRsσσ=+=+=(3)可靠指标β的计算。22224466.31800.03.48745.3180.0RSRSμμβσσ−−===++查表9-1可得，相应的失效概率fP为2.06×10-4。荷载与结构设计方法·158··158·9.2结构可靠度计算9.2.1均值一次二阶矩法均值一次二阶矩法(中心点法)是在结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思路为：利用随机变量的平均值(一阶原点矩)和标准差(二阶中心矩)的数学模型，分析结构的可靠度，并将极限状态功能函数在平均值(即中心点处)作Taylor级数展开，使之线性化，然后求解可靠指标。设X1，X2，…，Xn是结构中n个相互独立的随机变量，其平均值和标准差分别为iXμ和iXσ(i=1，2，…，n)，由这些随机变量所表示的结构功能函数为Z=g(X1，X2，…，Xn)(9-6)将功能函数Z在随机变量的平均值处展开为Taylor级数并保留至一次，即：121()()ninXXXiXiigZgXXμμμμμμ=∂=+−∂∑，，…，(9-7)Zμ的平均值：12()()nZXXXEZgμμμμμμ==，，…，(9-8)Zμ的方差：22221[()]()inZXiigEZEZXμμμμσσ=∂=−=∂∑(9-9)结构可靠指标表示为：12221()()niZXXXnZXiiggXμμμμμμμβσσ===∂∂∑，，…，(9-10)由上述可以看出，均值一次二阶矩法概念清楚，计算比较简单，可导出解析表达式，直接给出可靠指标β与随机变量统计参数之间的关系，分析问题方便灵活。但它也存在着以下缺点。(1)不能考虑随机变量的分布概率。若基本变量的概率分布为非正态分布或非对数正态分布，则可靠指标的计算结果与其标准值有较大差异，不能采用。(2)将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于随机变量的平均值不在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能会较大程度地偏离原来的极限状态曲面。可靠指标β依赖于展开点的选择。(3)对有相同力学含义但不同数学表达式的极限状态方程，应用均值一次二阶矩法不能求得相同的可靠指标值。见例9.2的分析。【例9.2】已知某钢梁截面的塑性抵抗矩W服从正态分布，539.010mmWμ=×，0.04Wδ=；钢梁材料的屈服强度f服从对数正态分布，3234N/mmfμ=，fδ=0.12。钢梁承受确定性弯矩130.0kNM=⋅m。试用均值一次二阶矩法计算该梁的可靠指标β。第9章结构可靠度分析与计算·159··159·解：(1)取用抗力作为功能函数。6130.010ZfWMfW=−=−×极限状态方程为6130.0100ZfWMfW=−=−×=由式(9-9)得：5672349.010130.0108.0610NmZfWMμμμ=−=××−×=×⋅由式(9-9)得：22222222222141()()7.1010inZXfWWffWWfiigXμσσμσμσμμδδ=∂==+=+=×∂∑72.6610NmZσ=×⋅由式(9-10)得：778.06103.032.6610ZZμβσ×===×(2)取用应力作为功能函数。MZfW=−极限状态方程为0MZfW=−=625130.01023489.56N/m9.010ZfWMμμμ×=−=−=×222222222221()()()1623.05inZXfWffWiiWWgMMXμσσσσμδδμμ=∂==+=+=∂∑240.29N/mZσ=89.562.2240.29ZZμβσ===由上述比较可知，对于同一问题，由于所取的极限状态方程不同，计算出的可靠指标有较大的差异。9.2.2改进的一次二阶矩法针对均值一次二阶矩法将结构功能函数线性化点取作基本随机变量均值点所带来的计算误差，人们开始在失效边界上寻求线性化点，该点通常在结构最大可能失效概率对应的设计验算X*上，由此得到的方法称为改进的一次二阶矩法。当线性化点选在设计验算点X****12()nXXX⋅⋅⋅，，，上时，线性化的极限状态方程为：*****12()()0nniiiiXgZgXXXXXX∂≈⋅⋅⋅+−=∂∑，，，(9-11)Z的均值为：*****12()()inZnXiiiXggXXXXXμμ∂=⋅⋅⋅+−∂∑，，，(9-1