第八章时间序列分析与预测

第八章时间序列分析与预测时间序列的概念和要素时间数列——又称为动态数列。把反映某一现象发展变化的一系列指标数值按时间先后顺序排列起来所形成的数列。两个基本要素：现象所属时间、指标数值。时间数列分析方法确定性时间数列分析方法——序列的变化过程可以用时间t的确定函数加以描述。随机性时间数列分析方法——根据随机过程理论，把时间序列作为一个随机过程来描述和描述。时间数列时间数列平均数数列平均数数列绝对数数列绝对数数列相对数数列相对数数列时期数列时期数列时点数列时点数列平均增减速度平均发展速度发展速度、增减速度速度指标增减量、平均增减量平发展水平、平均发展水水平指标绝对、相对平均增减速度平均发展速度减量平均发展水平、平均增平均指标发展速度、增减速度增减量比较指标比较、平均动态分析指标一、时间数列的构成因素长期趋势(SecularTrend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环变动(CyclicalVariation)不规则变动(IrregularVariations)第一节第一节时间序列的分解与组合时间序列的分解与组合1.长期趋势（SecularTrend)1.现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态；2.由影响时间序列的基本因素作用形成；3.是时间序列中最基本的构成要素；4.可分为上升趋势、下降趋势、水平趋势；或分为：线性趋势和非线性趋势。1952—1977年我国国内生产总值（亿元）0500100015002000250030003500135791113151719212325线性趋势0481216123456789101112131415零售量趋势值零售量（亿件）针织内衣零售量二次曲线趋势针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）2.季节变动(SeasonalFluctuation)是一种使现象以一定时期（如一年、一月、一周等）为一周期呈现较有规律的上升、下降交替运动的影响因素。通常表现为现象在一年内随着自然季节的更替而发生的较有规律的增减变化，有旺季和淡季之分。是一种周期性的变化；周期长度小于一年；形成原因——有自然因素，也有人为因素。例某小区居民用电月度数据250300350400450500550600650159131721252933374145时间序号（t）用电量（千度）250300350400450500550600650159131721252933374145时间序号（t）用电量（千度）3.循环变动(CyclicalVariation)这种因素的影响使现象呈现出以若干年为一周期、涨落相间、扩张与紧缩、波峰与波谷相交替的波动。不同于长期趋势•T表现为单一方向的持续变动，•C表现为波浪式的涨落交替的变动。又不同于季节周期•周期长度不同•模型识别的难易程度不同•形成原因不同太阳黑子数目的变化1991—2004各年月平均上证指数050010001500200025001234567891011121314循环变动C与季节变动S的区别不固定、错综复杂较固定、直观形成原因困难（需要数据多）容易模型的识别不稳定（周期相似，近乎规律的变动）稳定规律性（周期长度、波形、波幅等）大于1年小于1年周期长度循环变动C季节变动S区别4.不规则变动(IrregularVariations)包括随机变动和突然变动。随机变动—现象受到各种偶然因素影响而呈现出方向不定、时起时伏、时大时小的变动。因素具有偶然性，并且相互独立，则有相互抵消的可能。突然变动—战争、自然灾害或其它社会因素等意外事件引起的变动。这些因素相互之间有联系并受一、两个重大因素支配，则影响作用难以相互抵消，影响幅度很大。一般只讨论有随机波动而不含突然异常变动的情况。（二）时间数列的组合模型Y=T+S+C+I（加法模型）Yi=Ti+Si+Ci+IiY=T×S×C×I（乘法模型）Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型1.各种影响因素是相互独立的，均为与Y同计量单位的绝对量。2.季节变动和循环变动的数值在各自的周期时间范围内总和为零；不规则变动的数值从长时间来看，其总和也应为零。3.加法模型中，各因素的分解是根据减法进行（如：Y–T=S+C+I）.乘法模型1.只有长期趋势是与Y同计量单位的绝对量；其余因素均为以长期趋势为基础的比率，通常以百分数表示。2.季节变动和循环变动的数值在各自的一个周期内平均为1（or100%）；不规则变动的数值从长时间来看，其平均也应为1（or100%）。3.乘法模型中，各因素的分解是根据除法进行（如:Y/T=SCI）。时间数列的不同组合模式趋势模式：Y=TI趋势季节模式：Y=TSI趋势循环模式：Y=TCI趋势季节循环模式：Y=TSCI一、平滑法1.移动平均法(MovingAverageMethod)移动平均，是选择一定的平均项数（常用N表示），采用逐项递移的方法对原时间数列计算一系列序时平均值；这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。第二节长期趋势的测定｝77--33--2727————11.5611.5612.1512.1512.7012.7012.2012.2013.7313.7314.3114.3114.8514.8515.3615.3615.9415.9416.5116.5117.0417.0417.5617.56——————11.2511.2511.8811.8812.4312.4312.9812.9813.4313.4314.0314.0314.6014.6015.1015.1015.6215.6216.2516.2516.7816.7817.3017.3017.8317.83————12.3012.3010.5710.579.779.7714.7714.7714.6014.6012.6312.6311.9011.9016.9316.9316.8316.8314.7014.7014.1014.1019.1719.1719.0719.0716.8716.87——13.313.318.218.25.45.48.18.115.815.820.420.47.67.69.99.918.218.222.722.79.69.612.012.020.720.724.824.811.711.714.814.81122334411223344112233441122334411111111222222223333333344444444移正平均移正平均四项移动四项移动三项移动三项移动商品零售量商品零售量季别季别年份年份｝｝移动平均法的特点(应注意的问题)1.移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置；当N为奇数，只需一次移动平均；当N为偶数，需再进行二项移动平均即移正平均（或中心化）；2.移动平均对数列具有平滑修匀作用，平均项数（N）越大，对数列的平滑修匀作用越强；3.移动平均后，新数列较原数列项数少,造成部分信息缺损。N越大，缺项越多。•N为奇数时，新数列首尾各少（N-1）/2项；•N为偶数时，（移正后）新数列首尾各少N/2项。4.若数列包含周期性变动，为了消除周期变动而只反映T，应以周期长度作为移动间隔的长度，即：N=周期长度若是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均◆取决于移动平均的项数是否能与时间序列中的循环周期长度一致。◆但循环波动的周期长度远不如季节周期长度那么有规律，在同一数列中，各循环周期的长度是各不相同的。因而，固定平均项数的移动平均也就很难将数列中的循环波动完全消除。移动平均是否能消除循环变动？5.移动平均法可以呈现出现象的长期趋势，但本身不能进行外推预测。只有当T为水平趋势时，才可用移动平均值作为最近一期的预测值。对于呈现增长（或下降）趋势的时间序列，若直接以本期移动平均值为下期预测值会产生滞后偏差。需要说明的是：为了预测方便，也可以将移动平均值放在所平均时间的最末一期。股票证券技术分析中的各种均线（即移动平均曲线）就是采用这种方法。EXCEL中移动平均即是这样处理的。但当T有升降趋势时，须注意移动平均值的时滞性。N越大，平均值对实际变化的跟踪反映越迟钝，滞后越严重。2.指数平滑法11()ttttEEyE即序列的当前平滑值等于前一期的平滑值加上序列当前值和前一期的平滑值差的修正，具有递推性质。平滑系数，值介于0与1之间。11tttEyE上式也可写成：23112(1)(1)(1)....tttttEyyyy变形公式：即序列的当前平滑值序列所有前期值按照一定权重加权平均。并且当前时刻影响大，滞后期越长，对平滑值的影响越小，呈指数递减。系数分别为:,(1),...,(1),...n权重和等于1（推导见书P182）平滑系数的选择α值越小，平滑作用越强，跟踪实际数据越慢；反之。随机波动较大时，α可较小；为反映序列的变动状况，可选择较大的。如果主要依靠近期信息，α可选择较大的；如果希望充分重视历史信息，α宜选择的小一些。对初始值的正确性把握不大，希望减小初始值的影响，α宜大一些，反之。总之，使实际值和估计值的均方误差最小的α。指数平滑的预测：将指数平滑用于增长趋势序列的预测会产生滞后偏差，因此，指数平滑只能用于水平趋势做一期的预测。假定：Y=a.S.I即假定时间数列为水平趋势（T=a，为常数）,且无循环波动。根据原时间数列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素，计算季节比率S(或称为指数季节）,也可称为同期平均法。一、原资料平均法第三节季节变动的测定和分析1.计算同期平均数=各年（或各季节周期）第期数据的平均；相当于求得计算季节比率的步骤：%100%100)(yySii总平均数同期平均数季节比率iyiiiSay3.计算各期（季节）的季节比率：2.计算全部数据的总平均数（相当于a）；y%100/1SorLLyyyySiiLiii(季节比率计算表)64.068.768.569.978.490.379.188.596.495.7107.3115.488.095.3106.3106.0117.6131.162.671.574.875.985.286.5123456四季度三季度二季度一季度社会商品零售额(亿元)年份73.3097.07107.3876.08同季平均2123.0439.8582.4644.3456.5合计293.7324.0346.0347.5388.5423.32123.088.46全年合计100.0082.86109.73121.3986.01季节比率(%)例：例：已知某地最近几已知某地最近几年社会商品零售额的数据如下年社会商品零售额的数据如下表。表。原资料平均法的应用前提——数列无明显的升降趋势。否则，趋势值客观上起着权数（隐含权数）的作用，既不能反映出趋势增长量，不能正确测定季节变动。注意：二、趋势剔除法假定：Y=T.S.I基本思想：先将数列中的趋势予以消除，再计算季节指数，其步骤：1.计算长期趋势值T——常用移动平均值作为T（平均项数N=季节变动的周期长度，所以平均值中不含S、I）——也可用方程拟合法计算长期趋势值。2.从原数列中剔除趋势值，得季节变动和不规则变动相对数——Y/T=S.I，3.消除不规则变动I，得季节比率S*（原资料平均法）；4.调整季节比率，使季节比率的平均=1。否则，计算一个调整系数（=1/季节比率的平均数），各期的季节比率乘以该调整系数，即得调整后的季节比率。*ˆiiiSLSS3.趋势_循环剔除法假定：Y=T.S.C.I计算长期趋势值TC常用移动平均值作为TC（平均项数N=季节变动的周期长度，所以平均值中不含S、I，只含TC）从原数列中剔除趋势和循环值，得季节变动和不规则变动相对数——Y/TC