2.4-倒格子

第四节倒格子本节主要内容:一、点阵傅里叶变换与倒格子三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞二、正格子与倒格子的关系四、倒格子的点群对称性晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式.波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？一、点阵傅里叶变换与倒格子布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：()()nFrFrR布拉维格矢由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：()()igrgFrAge展开系数1.周期函数的傅里叶展开展开系数1()()igrAgFredr原胞体积()()nFrFrR因为：1()()igrnAgFrRedr所以：nrrR令则：nrrRdrdr()11()()()nnigrRigRigrAgFredrFreedr则11()()()nnigRigRigrigrAgFreedrFredre()Ag()()()[1]0nnigRigRAgAgeAge()01nigRAgore()()0igrgFrAge不合要求，应舍去1nigRe所以由于与存在上述对应关系,可以描述布拉维格子,自然也可以描述同样的布拉维格子,且与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因而,凡是波矢和布拉维格矢满足的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格子的由来.1nigRenRgggnRg()()nFrFrR成立cos()12;intnngRgRmwheremiseger1nigRe也就是说,一定存在某些使得当成立时g由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒空间。从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为倒格子(reciprocallattice)，而把Rn所描述的布拉维格子称为正格子(directlattice)。2.倒格子(reciprocallattice)的定义对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部端点的集合，也可以描述该布拉维格子。如果把所描述的布拉维格子称为正格子，则所描述的布拉维格子称为正格子的倒格子,也叫倒易点阵或简称为倒点阵.nR1hniGRe2,hnGRmhG称为倒格矢hGnRhG从倒格子的引入可知，对于坐标空间中与布拉维格子有相同平移对称性的某物理量的傅里叶展开中，只存在波矢为倒格矢的分量，其它分量的系数为零利用倒格矢，满足的傅里叶展开为:()()nFrFrR1()(())()hhhiGiGhrhrGAGFrAGeFredr意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。3.倒格子的基矢将112233nRnanana代入2,hnGRm得：1122332hhhnGanGanGam欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意整数，则要求：1223132;2;2hhhGaGahhGhah1,h2,h3为整数对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocallattice).nR1hniGRe2,hnGRmhG称为倒格矢hG112233hGhbhbhb显然,如果令h1,h2,h3为整数可知亦应该不共面，从而可以用描述倒格子。2ijijba由于为基矢，互不共面，则由123,,aaa123,,bbb112233hGhbhbhb1122332hhhnGanGanGam1223132;2;2hhhGaGahhGha或：当2,2,1,2,30,ijijijbaijij满足时，则下式自然成立：其中δij称为克罗内克(Kronecker)函数由于为倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocalspace),则由于不共面，自然可以成为倒易空间的基矢。112233hGhbhbhb123,,bbb和对比,表明对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。112233nRnanana112233hGhbhbhb从而且也可作为以为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。112233hGhbhbhb2;1,2,3;1,2,3ijijbaij123,,aaa讨论：2;1,2,3;1,2,3ijijbaij由可知：垂直,因此，23,aa1b和23aa1b与平行1123()baa所以可令：两边同时点乘1a111123()2abaaa112322()aaa2311232()()aabaa原胞的体积123231312222baaΩbaaΩbaaΩπππ其中是正格基矢123,,aaa123Ωaaa是固体物理学原胞体积同理可得23,bb所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：与所联系的各点的列阵即为倒格子。112233hGhbhbhb123(,,)hhh为整数许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。二、倒格子与正格子的关系1.体积关系ΩΩ*3π2(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积)除因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积互为倒数3(2)**123Ωbbb32331122πΩaaaaaa311231213112[][]aaaaaaaaaaaaCBABCACBA利用1Ωa=0332233*1(22π2πΩΩπ)Ωaaa2.倒格矢与晶面倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：112233hGhbhbhb1232πhhhhGd其中是正格子晶面族(h1h2h3)的面间距123hhhd首先我们证明倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交112233hGhbhbhb设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面ABC在基矢上的截距分别为。123,,aaa312123,,aaahhh由图可知：3113CAOAOChhaa3223CBOBOChhaahGCA3111223313()220aahbhbhbhhBCO2a1aAhG3ahGCB3211223323()220aahbhbhbhh所以倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交112233hGhbhbhb12331212311111122hhhhhhhhhaaannnhhhGaGahhGhGGdGh1232πhhhhGd接着我们再证明倒格矢长度为由于倒格矢与晶面族(h1h2h3)正交.112233hGhbhbhb因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为hGBCO2a1aAhG3a则法线方向的单位矢量为：hhGnG因而，面间距这个关系很重要,后面分析XRD时要用1232hhhhdG表明,对任一倒格矢以其在倒易空间的坐标数(h1，h2，h3)表征的正格子空间中的晶面族(h1h2h3)，一定以为法线方向，且面间距为112233hGhbhbhbhG2/hG3b1b2b1a2a3a3.倒格子基矢的方向和长度12323131222;;2baabaaΩΩbaaΩπππ231122aabdππΩ222bdπ332bdπ一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。3b1b2b1a2a3a设：1d23aa是所在晶面族的面间距；31aa2d是所在晶面族的面间距；12aa3d是所在晶面族的面间距。利用体积=底面积*高，则有：晶体结构正格子倒格子2.与晶体中原子位置相对应；2.与晶体中一族晶面相对应；3.是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列；3.是真实空间中点的周期性排列；4.线度量纲为[长度]4.线度量纲为[长度]-11122331.nRnanana1122331.hGhbhbhb已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体结构正格子正格子基矢倒格子基矢倒格子123231312222baaΩbaaΩbaaΩπππ2()20()ijijijbaij112233hGhbhbhb123,,aaa123,,bbb三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞1.布里渊区、布拉格平面在倒格子空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其它所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区(Brillouinzone)。把连接两个倒格点连线之间的垂直平分面称为布拉格平面。在倒格子空间中,以一个倒格点为原点,从原点出发,不经过任何布拉格平面所能到达的所有点的集合,称为第1布里渊区(firstBrillouinzone),也叫简约布里渊区。显然,它是围绕原点的最小闭合区域。容易看出，第1布里渊区和前面所讲的维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞的取法一样，所以通常人们把第1布里渊区定义为倒格子空间中的维格纳-塞茨原胞。（1）第一布里渊区除第1布里渊区外，还有第2，第3，…，等所谓高布里渊区。从第n-1个布里渊区出发，只经过一个布拉格平面所能到达的所有点的集合，称为第n布里渊区。或者说，从原点出发经过n-1个中垂面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)称为第n布里渊区。（2）高布里渊区除第1布里渊区以外，高布里渊区均由一些小块组成；每个布里渊区的总体积相等，均为倒格子空间中一个原胞的体积。布里渊区尤其是简约布里渊区在能带论电子和晶格振动的讨论中非常重要aaaa1aai2aaj12aaiaaj（1）下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列和布里渊区图。2()20()ijijijbaij2.常见倒格子、布里渊区的实例11122π0abab212202πabab122π2πbiabjaaπ2aπ21122hGhbhb倒格子是边长为的正方形格子。aπ212aaiaaj2()20()ijijijbaijij第一布里渊区第三布里渊区第二布里渊区aπ2aπ2布里渊区的面积=倒格子原胞的面积高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。第一区第二区第三区布里渊区的简约区图布里渊区扩展区图ija2a2第一区第二区第三区第四区第五区第六区第七区第八区第九区第十区二维正方晶格的布里渊区的简约区图abjbaiaa21jbbiabπ2π221ijjibaπ2)(π2ji)(0jiiaa1jba2倒格子仍为矩形。（2）二维矩形格子的倒格子、