2015届高考数学(理)基础知识总复习精讲课件：第11章 第3节 坐标系

高考总复习•数学（理科）第三节坐标系第十一章高考总复习•数学（理科）平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换把圆(x＋2)2＋(y－3)2＝4变为椭圆C，椭圆C的中心在原点，长轴长为6，短轴长为4.求上述两个变换及这两个变换的合成变换．思路点拨：先用平移变换把圆心变到原点，再用伸缩变换把圆变为椭圆．高考总复习•数学（理科）解析：用平移变换x′＝x＋2，y′＝y－3，把圆(x＋2)2＋(y－3)2＝4变为x′2＋y′2＝4，再用伸缩变换x″＝3x′2，y″＝y′，将圆x′2高考总复习•数学（理科）＋y′2＝4变为x″29＋y″24＝1，该椭圆满足题设条件．所以，平移变换是x′＝x＋2，y′＝y－3，伸缩变换是x″＝3x′2，y″＝y′，这两个变换的合成变换是x″＝3x2＋3，y″＝y－3.点评：在进行平移或伸缩变换时，不需要刻意记忆变换公式，只要根据变换前后的方程形式就可以写出变换关系(即变换公式)．另外要注意两种变换的先后顺序，顺序不同，变换公式也不同．高考总复习•数学（理科）变式探究1．(1)在同一平面直角坐标系中，抛物线y2＝4x经过φ：x′＝x－2，y′＝y＋3变换后，焦点F′的坐标为__________．(2)曲线C经过φ：2x′＝x，y′＝3y变换后所得到曲线C′：y′＝6x′2，则曲线C的方程为__________．高考总复习•数学（理科）解析：(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，变换φ：x′＝x－2，y′＝y＋3的几何意义是，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所以抛物线的焦点坐标为F′(－1,3)．(2)设曲线C′上任意一点为P′(x′，y′)，由已知，将变换公式2x′＝x，y′＝3y，代入y′＝6x′2，得x2＝2y.答案：(1)F′(－1,3)(2)x2＝2y高考总复习•数学（理科）极坐标与直角坐标的互化【例2】(1)在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cosθ相交，则实数k的取值范围是__________．(2)求极点到直线ρsinθ＋π3＝10的距离是______．思路点拨：(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标系下的方程，用判别式大于零求解；(2)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式求解．高考总复习•数学（理科）解析：(1)将曲线C的方程ρ＝2cosθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρcosθ，使用互化公式化为x2＋y2－2x＝0，将直线l的方程代入x2＋y2－2x＝0，整理得(1＋k2)x2＋(4k－2)x＋4＝0.因为直线l与曲线C相交，所以Δ＝(4k－2)2－16(1＋k2)＞0，解得k＜－34.(2)将直线ρsinθ＋π3＝10变为ρsinθcosπ3＋ρcosθsinπ3＝10，即ρsinθ＋3ρcosθ＝20，将互化公式代入，化简得3x＋y－20＝0，则极点到该直线的距离为d＝|－20|32＋12＝10.答案：(1)kk＜－34(2)10高考总复习•数学（理科）点评：极坐标与直角坐标的互化，基本要求就是会使用互化公式，将极坐标化为直角坐标时，结果是唯一的；而将直角坐标化为极坐标时，结果的表现形式不唯一，这就要注意极角的取值范围和极径的正负．一般地，极径取非负值，极角的范围是[0,2π)，有时极径也会取负值，极角也会取任意实数，要根据具体情况确定．高考总复习•数学（理科）变式探究2．(1)在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－π6上的动点，则|PQ|的最大值是__________．(2)已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cosθ＋3sinθ)＝5，则此圆在直线θ＝0上截得的弦长为__________．解析：(1)以极点O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系xOy.用互化公式将方程ρ＝12sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝12y，它表示圆心为(0,6)，半径为6的圆．高考总复习•数学（理科）将ρ＝12cosθ－π6化为直角坐标方程为(x－33)2＋(y－3)2＝36，它表示以(33，3)为圆心，6为半径的圆．由圆的位置关系可知，当P、Q所在直线为连圆心线所在直线时，|PQ|长度可取得最大值，且最大值为33－02＋6－32＋6＋6＝18.(2)将极坐标方程化为直角坐标方程，得x2＋y2＋2x＋23y－5＝0，令y＝0，得x2＋2x－5＝0，所以|x1－x2|＝26.答案：(1)18(2)26高考总复习•数学（理科）求曲线的极坐标方程【例3】已知圆ρ＝2，直线ρcosθ＝4，过极点作射线交圆于点A，交直线于点B，当射线以极点为中心转动时，求线段AB的中点M的轨迹方程．思路点拨：设点M(ρ，θ)，将|OM|的长用ρ表示，然后在Rt△BOC中用余弦关系即得．高考总复习•数学（理科）解析：如图，设M(ρ，θ)，因为|OA|＝2，|OM|＝ρ，所以|AM|＝ρ－2，|AB|＝2|AM|＝2ρ－4.所以|OB|＝2ρ－4＋2＝2ρ－2.在Rt△BCO中，cosθ＝|OC||OB|＝42ρ－2，即(ρ－1)cosθ＝2为所求的线段AB的中点M的轨迹方程．点评：求曲线的极坐标方程，关键就是找出曲线上的点满足的几何条件，将它们用极坐标表示，通过解三角形得到．直角坐标系中求轨迹方程的方法，对极坐标方程的求解也适用，如直译法、定义法、动点转移法等．高考总复习•数学（理科）变式探究3．如图，点A在直线x＝4上移动，△POA为等腰直角三角形，其直角顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，因为点A在直线ρcosθ＝4上，所以ρ0cosθ0＝4.①因为△POA为等腰直角三角形，且∠OPA＝π2，高考总复习•数学（理科）而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝π4，所以ρ0＝2ρ，且θ0＝θ－π4.②把②代入①得点P的轨迹的极坐标方程为2ρcosθ－π4＝4，得ρ(cosθ＋sinθ)＝4.所以点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为3π4的直线．高考总复习•数学（理科）极坐标系的应用【例4】已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(ab0)，A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB.(1)求证：1|OA|2＋1|OB|2为定值；(2)求△AOB面积的最大值和最小值．思路点拨：由于点的极坐标更加容易表示距离和角度，所以涉及长度和角度问题时，采用极坐标系往往能够简化思路、简便运算．高考总复习•数学（理科）(1)证明：以椭圆中心O为直角坐标原点，长轴所在的直线为x轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为x2a2＋y2b2＝1.将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程，得ρcosθ2a2＋ρsinθ2b2＝1，即ρ2＝a2b2b2cos2θ＋a2sin2θ.由于OA⊥OB，可设A(ρ1，θ1)，Bρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a2b2b2cos2θ1＋a2sin2θ1，ρ22＝a2b2b2sin2θ1＋a2cos2θ1.于是1|OA|2＋1|OB|2＝1ρ21＋1ρ22＝b2cos2θ1＋a2sin2θ1＋b2sin2θ1＋a2cos2θ1a2b2＝a2＋b2a2b2.高考总复习•数学（理科）所以1|OA|2＋1|OB|2为定值．(2)解析：依题意，得S△AOB＝12|OA||OB|＝12ρ1ρ2＝12a2b2b2cos2θ1＋a2sin2θ1b2sin2θ1＋a2cos2θ1＝12a2b2a2－b22·sin22θ14＋a2b2，当且仅当sin22θ1＝1，即θ1＝π4或5π4时，S△AOB有最小值a2b2a2＋b2；当sin22θ1＝0，即θ1＝0或π时，S△AOB有最大值ab2.高考总复习•数学（理科）点评：恰当的选用极坐标系，有时能够有效地提供解决解析几何问题的方法和思路，提高问题解决的速度．高考总复习•数学（理科）变式探究4．(2013·东莞二模)已知曲线C1：ρ＝22和曲线C2：ρcosθ＋π4＝2，则C1上到C2的距离等于2的点的个数为____________．解析：将方程ρ＝22与ρcosθ＋π4＝2化为直角坐标方程，分别是x2＋y2＝(22)2与x－y－2＝0，可知C1为圆心在坐标原点，半径r＝22的圆，C2为直线，因圆心到直线x－y－2＝0的距离为2＝r2，结合图形可知，满足条件的点有3个．答案：3