高中数学：直接证明与间接证明-(一)-综合法与分析法-课件新人教版选修2

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法问题提出t57301p21.合情推理的主要作用和思维过程是什么？作用：提出猜想，发现结论；过程：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想.2.演绎推理的一般模式是“三段论”，三段论的基本含义如何？大前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对特殊情况做出判断.合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法……综合法分析法法一：∵222≥bcbc,0a,∴22()2≥abcabc.又∵222≥caac,0b,∴22()2≥bcaabc∴2222()()4≥abcbcaabc问题1：已知,0ab，求证：2222()()4≥abcbcaabc你怎样求证？法二：要证：2222()()4≥abcbcaabc只要证：2222()2,()2≥≥abcabcbcaabc∵0,0ab∴只要证：22222,2≥≥bcbccaac又∵0,0,0abc，∴22222,2≥≥bcbccaac∴得证.分析上面两种方法的相同点与不同点?相同点:直接利用原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法──直接证明法特点:由因导果（找条件的必要条件）法一：∵222≥bcbc,0a,∴22()2≥abcabc.又∵222≥caac,0b,∴22()2≥bcaabc∴2222()()4≥abcbcaabc问题1：已知,0ab，求证：2222()()4≥abcbcaabc象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法.(又称顺推证法)(已知)A1nBB一步一步前进(结论)B其模式为:特点:执果索因（找结论的充分条件）其模式为:B1nBBA(结论)一步一步转化(已知)象这种从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法.(又称倒推证法)问题1：已知,0ab，求证：2222()()4≥abcbcaabc法二：要证：2222()()4≥abcbcaabc只要证：2222()2,()2≥≥abcabcbcaabc∵0,0ab∴只要证：22222,2≥≥bcbccaac又∵0,0,0abc，∴22222,2≥≥bcbccaac∴得证.问题2:在《数学5(必修)》中，我们如何证明基本不等式(0,0)?2≤ababab指出其中的证明方法的特点.证法1:对于正数a,b,有202022≥≥≥≥ababababababab（）证法2:要证只要证只要证只要证2≤abab2≤abab02≤aabb20()≤ab因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!综合法问题3:(试用两种方法证明)设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，也就是要证(a-b)2＞0成立。而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。问题3:(试用两种方法证明)设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用综合法思路书写)∵a0,b0,∴a3+ab2＞2a2b,b3+ba2＞2ab2成立，∴a3+ab2+b3+2ba2＞2a2b+2ab2成立，∴命题得证。∴a3+b3＞a2b+ab2直接证明：分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ＡＢＣ为等边三角形．符号语言图形语言文字语言学会语言转换找出隐含条件222:2cosbacacB余弦定理例2求证：.3725+例3已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，其中，求证：,()2kkZ22221tan1tan1tan2(1tan)abab--=++课堂训练：教材P89练习：1，2，3小结作业1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.作业：P91习题：A1，2，3.4B组1,2,3练习1：在锐角三角形ＡＢＣ中，求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC练习2.已知0,0,ab求证:122.≥abab练习3.若1,1,ab求证:1.1abab