2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法―二分法

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法1.知识目标：理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解．2.能力目标：体验求方程近似解的二分法的探究过程，感受方程与函数之间的联系，初步认识算法化的形式表达．学习目标3.情感目标：（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；（2）通过合作学习，培养学生团结协作的品质引例：有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，在这条10km长的线路上，如何迅速查出故障所在？(每50米一根电线杆)要把故障可能发生的范围缩小到50～100m左右，即一两根电线杆附近，要检查多少次？7次判断零点存在的方法若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在闭区间[a,b]端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0,则f(x)在（a,b)上至少有一个零点，即方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个实数解。温故知新说明：1.方程f(x)=0在区间（a,b)内有奇数个解，则f(a)f(b)0;方程在区间（a,b)内有偶数个解，则f(a)f(b)0.2.若方程f(x)=0在区间(a,b)只有一解，则必有f(a)f(b)0.问题1能否求解以下几个方程(1)x2-2x-1=0(2)2x=4-x(3)x3+3x-1=0指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程.问题2不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）?画出y=x2-2x-1的图象(如图)xy1203y=x2-2x-1-1由图可知：方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(-1,0)内．结论：借助函数f(x)=x2-2x-1的图象，我们发现f(2)=-10,f(3)=20，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.如何进一步有效缩小根所在的区间？2-3+xy1203y=x2-2x-1-12-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.252-3+2.5+2.25--2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+思考由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。数离形时少直观，形离数时难入微问题3如何描述二分法？对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法．问题4二分法实质是什么？用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。问题5能否给出二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤？1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证f(a)•f(b)＜0)，判断近似解所在的区间(a,b).2．“二分”解所在的区间，即取区间(a,b)的中点1abx.23．计算f(x1)：(1)若f(x1)＝0，则x0＝x1；(2)若f(a)•f(x1)＜0，则令b＝x1(此时x0∈(a,x1));(3)若f(a)•f(x1)＜0，则令a＝x1(此时x0∈(x1,b)).4．判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近似解；若未达到，则重复步骤2～4．例求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个为正数的零点(精确度为0.1)．【解析】由于f(1)＝－20，f(2)＝60，可取区间(1,2)作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：(a，b)|a－b|(1,2)1.51(1,1.5)1.250.5(1.25,1.5)1.3750.25(1.375,1.5)1.4380.125(1.375,1.438)1.40650.0625由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在(1.375,1.438)内取1.4065作为函数f(x)正数的零点的近似值．ab2判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解．变式区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08由于|1.34375－1.3125|＝0.031250.1，所以函数的一个近似零点可取1.3125.【解析】因为f(1)＝－10，f(1.5)＝0.8750，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点．当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点．题后感悟下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）Cxy0xy0xy0xy0ABCD问题5根据练习2，请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？1.函数y=f(x)在[a,b]上连续不断．2.y=f(x)满足f(a)·f(b)0，则在(a,b)内必有零点.1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.只有用心才能从细节里获得知识和感悟。