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专题15角含半角模型破题策略1．等腰直角三角形角含半角如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°（1）△BAE∽△ADE∽△CDA（2）BD2＋CE2＝DE2．45°EABCD证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，所以△BAE∽△ADE∽△CDA．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．45°FEABCD则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，所以△ADE∽△FAE（SAS）．所以DE＝EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．方法二（翻折法）：如图2，作点B关于AD的对称点F，连结AF，DF，EF．45°FEABCD因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，又因为∠BAD＝∠DAF，则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，所以△FAE∽△CAE（SAS）．所以EF＝EC．而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．【拓展】①如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2．EABCD可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：EFABCDFEABCD②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且∠DAE＝12∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°－∠BAC．EBCAD可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：FEBCADFEBCAD2．正方形角含半角如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连结EF，则：45°图1FABCDE图2GFEABDC45°图3HFEABDC（1）EF＝BE＋DF;（2）如图2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;（3）如图3，连结BD交AE于点H，连结FH．则FH⊥AE．（1）如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADI证明．图4IFEABDC则∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE，所以△AEF∽△AIF（SAS），所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．（2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，所以AG＝AD．（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H四点共圆，从而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°，即FH⊥AE．【拓展】①如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连结EF，则EF＝DF－BE．FABCDE可以通过旋转的方法来证明.如图:EBCDAFG②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在BC、CD上，∠EAF=12∠BAD，连结EF，则EF=BE+DF.ABFDCE可以通过旋转的方法来证明.如图:ABFDCEG例题讲解例1如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°.（1）试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF＝BE＋FD.（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD．DF＝40（3－1）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据：2＝1.41，3＝1.73）图1FADCBE图2ABDCEF图3FCAEBD解：（1）由“正方形内含半角模型”可得EF＝BE＋FD．（2）∠BAD＝2∠EAF，理由如下：如图4，延长CD至点G，使得DG＝BE．连结AG.易证△ABE≌△ADG（SAS）.所以AE＝AG，即EF＝BE＋DF＝DG＋DF＝GF.从而证得△AEF≌△AGF（SSS）．所以∠EAF＝∠GAF＝12∠EAG＝12∠BAD.图4GBADCEF图5HFCGABED（3）如图5，将△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG．连结AF．由题意可得∠BAE＝60°所以△ABE和△ADG均为等腰直角三角形.过点A作AH⊥DG于点H．则DH＝12AD＝40m，AH＝32AD＝403m.而DF＝40（3－1）m.所以∠EAF＝∠GAF＝45°.可得△EAF≌△GAF（SAS）．所以EF＝GF＝80m+40（3－l）m≈109.2m.例2如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°．连结MC、NC、MN．（1）与△ABM相似的三角形是，BMDN＝（用含有a的代数式表示）；（2）求∠MCN的度数；（3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论.NADCBM解：（1）△NDA，2a.（2）由（1）可得BMABADND，所以BMDCBCDN．易证∠CBM＝∠NDC＝45°，所以△BCM∽△DNC．则∠BCM＝∠DNC，所以∠MCN=360°一∠BCD一∠BCM一∠DCN＝270°－（∠DNC+∠DCN）＝270°－（180°－∠DNC）＝135°．（3）222BMDNMN，证明如下：如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连结EM.易得AE＝AN.∠MAE＝∠MAN＝45°，∠EBM＝90°，所以△AME≌△AMN.（SAS）.则ME＝MN．在Rt△BME中，222BMBEEM所以222BMDNEM.ENBCDAM倒3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°.若CD＝4，求△ABE的面积.图1BADCE解：如图1．过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由∠DAC=45°，∠ADC＝90°，可得AD＝CD.所以四边形ADCF为正方形.从而AF＝FC＝4．令BC＝m，则AB＝4＋m，BF＝4－m．在Rt△AFB中，有16＋（4－m）2一（4＋m）2所以AB＝5，BF＝3．如图2．将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG.易证△AGH≌△AEB．令DE＝n，则CE＝4－n，BE＝BG＝3＋n在Rt△BCE中，有1+（4－n）2＝（3＋n）2，解得n＝47.所以BG＝257.从而15027ABEABGSSAFBG.图2FBADCEG进阶训练1.如图，等边△ABC的边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．NDABCM△AMN的周长是2【提示】如图，延长AC至点E，使得CE＝BM，连结DE.先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN即可.ENDACBM2．如图，在正方形ABCD中，连结BD，E、F是边BC，CD上的点，△CEF的周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．NMCDFEBA解：BM2＋DN2＝MN2．【提示】由△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图1），证△AEF≌△AGF，得∠MAN＝12∠BAD＝4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得．HGG图2图1ABEFDCMNNMCDFEBA3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，DE⊥BC于点E，且DE＝BC，点F在边AC上，连结BF交DE于点G，若∠DBF＝45°，DG＝275，BE＝3，求CF的长．GFEDCBA解：CF＝125．【提示】如图，将DE向左平移至BH，连结HD并延长交AC于点I，则四边形HBCI为正方形．将△BHD绕点B顺时针旋转90°至△BCJ，则点J在AC的延长线上．连结DF，由“正方形角含半角模型”可得DF＝DH＋CF，∠DFB＝∠JFB＝∠DGF，所以DF＝DG，从而求得CF的长．JIHABCDEFG