高等数学(绪论)

乐观自信坚持认真成功强大的内心将是你人生最宝贵的财富!学习要求1、不缺课、遵守纪律、认真听课！2、认真、独立完成作业！3、了解数学软件（如Mathematica,Matlab，Lingo等。高等数学(绪论)微积分学的建立一、十七世纪急需解决的四类科学问题二、牛顿和莱布尼茨对微积分学的贡献一.十七世纪急需解决的四类主要科学问题：第一类是瞬时速度问题；第二类是求曲线的切线问题；第三类是求最优值问题；第四类是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。二.十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨分别独自研究和完成了微积分的创立工作，其中牛顿着重于从运动学来考虑，莱布尼茨侧重于从几何学来考虑。牛顿(Isaac,Newton,1642—1727),英国物理学家、天文学家和数学家莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646—1716)德国数学家、物理学家和哲学家•高等数学的核心内容是微积分，这是人类在科学中最伟大的创造之一．•高等数学研究的主要对象是函数，函数描述了客观世界中量与量之间的依赖关系．而高等数学研究的基本方法则是极限方法，极限方法是利用有限描述无限、由近似过渡到精确的一种工具和过程．•首先我们将介绍函数、极限等基本概念以及它们的一些性质．推荐参考文献•《高等数学》陈庆华主编，高教出版社，1999年6月第一版；•《高等数学实用教程》，谷志元主编，华南理工大学出版社，2007年9月第一版；§1函数1.1函数的概念1.2函数的特性(1)函数的单调性;(2)函数的奇偶性;(3)函数的周期性;(4)函数的有界性（详细讲解）.，DxfyMx自变量y因变量f对应法则D定义域记为，)(xfyDx练习：P5，习作题•(4)函数的有界性•设函数在区间I上有定义，如果存在正常数M，使得对于区间I内所有x，都有•则称函数f(x)在区间I上有界。如果这样的M不存在,则称函数f(x)在区间I上无界。•在所讨论的区间上有界函数的图像夹在平行于轴的两条直线之间。例如：由于|sinx|≤1,因此，函数y=sinx是有界函数。oxoxMyMyMyMyyMMyyMMMxf）（练习：判断下列函数是否有界（1）35;yx（2）21;yx（3）3sin2;3yx（）（4）cos3;yx（5）ln;yx（6）tan;yx无界无界有界有界无界无界§2.初等函数1.基本初等函数;)1,0(logaaxya等xyxyxytan,cos,sin等xyxyxyarctan,arccos,arcsinccy（1）常值函数：（为常数）；axy(为任意常数)a（2）幂函数：)1,0(aaayx（3）指数函数：（4）对数函数：（5）三角函数：（6）反三角函数：表1-1基本初等函数的图形及其性质要用到的三角函数公式xxsin1csc2）（xxcos1sec1）（xxtan1cot3）（xxxsincoscot2）（xxxcossintan1）（1cossin122xx）（xx22sectan12）（xx22csccot13）（xxxcossin22sin1*）（xxxxx2222*sin211cos2sincos2cos2）（余割正割平方关系倒数关系商数关系二倍角公式余切反函数原函数定义域D值域M定义域M值域D反函数y=f(x)x=f-1(y)y=f-1(x)由此可定义反三角函数一一对应[1]反正弦函数正弦函数定义域[-π/2,π/2]值域[-1,1]定义域[-1,1]值域[-π/2,π/2]反正弦函数y=sinxx=arcsinyy=arcsinx一一对应求下列反三角函数值:(1)arcsin0(2)arcsin(1/2)(3)arcsin(-1/2)(4)arcsin1(5)arcsin(-1)(6)arcsin2（注）arcsin(-x)=-arcsinx[2]反余弦函数余弦函数定义域[0,π]值域[-1,1]定义域[-1,1]值域[0,π]反余弦函数y=cosxx=arccosyy=arccosx求下列反三角函数值:(1)arccos0(2)arccos(1/2)(3)arccos(-1/2)(4)arccos1(5)arccos(-1)(6)arccos2(注)arccos(-x)=π-arccosx[3]反正切函数正切函数定义域（-π/2,π/2）值域（-∞,+∞）定义域（-∞,+∞）值域（-π/2,π/2）反正切函数y=tanxx=arctanyy=arctanx一一对应（注）arctan(-x)=-arctanx求下列反三角函数值:(1)arctan0(2)arctan1(3)arctan(-1)(4)arctan(5)arctan(-)332.复合函数;,函数，若称为中间变量。)(ufyfD)(xuMMDf)]([xfy其中为自变量，xyu定义3设函数的定义域为的值域为非空，则称为复合函数。为因变量，例：判断下列各组函数是否可以复合；，）（xuuysin12；，）（212xuuy；，）（22arcsin3xuuy解：可以复合，得Rxxy，2sin解：可以复合，得]11[12，，xxy解：不可以复合。3(1)tan;yx例：写出下列函数的复合过程解3=tan,.uxyu令则33,tan,=tan.yxyuux所以是由复合而成的(2)arcsin(e);xy解=e,arcsin.xuyu令则,arcsin(e)arcsin,=e.xxyyuu所以是由复合而成的sin(3)2.xy解sin,22,=sin.xuyyux所以是由复合而成的练习：分解以下复合函数（1）)ln(cos2xy32sinxy（3）xy2sin(2)练习：P11，9～143.初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成，并可用一个解析式表示的函数称为初等函数．提示目前我们研究的函数,除分段函数外,其余能用一个函数式表示的都是初等函数广州至长沙为707公里§3.建立函数关系式建立函数关系式(数学模型)时，首先需明确问题中的自变量与函数，然后根据题意建立等式例1铁路货运规定货物的吨公里运价为：在1000公里以内，每吨公里为0.1元，超过1000公里时，超过部分每吨公里运价八折优惠。(1)求运价y（元）和里程x（公里）之间的函数关系；(2)现有2万吨广式月饼，从广州运往长沙，问共需多少运费？(3)现有2万吨广式月饼，从广州运往北京，问共需多少运费？广州至北京为2308公里解：（1）设货物质量为m(吨)，则函数关系式为1000),1000(8.01.010001.010000,1.0xxmmxmxy（2）m=2×104(吨)，x=707(公里))(10414.17071021.0)707(64元f（3）m=2×104(吨)，x=2308(公里))(100928.410208.01308102)2308(646元f例2广州市现行出租车收费标准为：乘车不超过3km，收费10元；超过3km而不超过15km，超过的里程每km加收2.6元；超过15km，超过的里程每km加收5.2元。若小明打的士去火车站，行驶里程为20km，问小明应付给司机多少钱？yx乘客乘车的费用(元)与乘车里程(km)之间的数量关系为1003102633151026153521515,xy.(x),x.().(x),x练习(作业)：1．某工厂有电子产品1000只，每只定价为130元，销售量在700以内时按原价出售，超过700只时，超过部分打9折出售，试将销售总收益与总销售量表示成函数关系。2．正方形边长是３，若边长增加Δx,则面积增加Δy，求Δx与Δy的函数关系式及函数的定义域和值域。（小结）本节主要内容:二.三角函数及反三角函数三.初等函数1.基本初等函数;2.复合函数；3.初等函数SeeYOu四.建立函数关系式一.函数的概念及性质