高等数学-上册-第一章总结

第一章函数极限与连续（一）本章重点（importantpoints）：1.了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。2.理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。3.无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，soitisalsoimportant!）。4.函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地verygood！）。5.分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。（二）知识点分析（analysis）：常用不等式1）绝对值不等式：||x|−|y||≤|x±y|≤|x|+|y|2）三角不等式：|x−z|=|x−y+y−z|≤|xy|+|yz|3）BernoulliInequality(贝努力不等式)：若x-1,n∈z,且n=2则(1+x)n≥1+nx4)CauchyInequality（柯西不等式）：(∑xiyi）ni=12≤(∑xi2ni=1)∙(∑yi2ni=1)5)ex≥1+x6)ln(1+n)≤x7)(1+1n)n(1+1n+1)n+1&&(1+1n)n+1(1+1n)n+2即：数列{(1+1n)n}单调递增，数列{(1+1n)n+1}单调递减。8）设x∈z+,则1x+1ln(1+1n)1x9)设x∈z+,则12√n1∗3∗5∗…∗(2n−1)2∗4∗6∗…..∗2n1√2n+1二．不等式的运用案例eg1.证明柯西不等式(∑xiyi）ni=12≤(∑xi2ni=1)∙(∑yi2ni=1)证法一：（构造一个关于t的二次方程，并利用其判别式）因为xi,yi∈R,i=1,2,3…..,n.所以∀t∈R，有(xi+tyi)2≥0.→f(t)=∑(xi+tyi)2ni=1=∑xi2+(2∑xiyini=1)t+(∑yi2ni=1)ni=1t2≥0若∑yi2=0,则。。。。。。ni=1若∑yi20ni=1,则有判别式∆≤0故4（∑xiyini=1）2≤4∑xi2∙∑yi2≤0ni=1ni=1→(∑xiyi）ni=12≤(∑xi2ni=1)∙(∑yi2ni=1)三．求极限的方法：1.利用极限的基本性质与法则。2.利用数列求和。3.利用两个重要极限。4.利用对数恒等式（主要是解有关幂指型函数的题）。5.利用函数的连续性。6.利用无穷大与无穷小的关系（无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小；无穷大加无穷大不一定等于无穷大；）四．数列的极限：若对0（不论多么小），总自然数0N，使得当Nn时都有axn成立，这是就称常数a是数列nx的极限，或称数列nx收敛于a，记为axnnlim，或axn（n）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。注：1：是衡量nx与a的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那么2,2,2等也具有任意性，它们也可代替）2：N是随的变小而变大的，是的函数，即N是依赖于的。在解题中，N等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N，使得当Nn时，有axn就行了，而不必求最小的N。Eg2.证明1lim22nann。证明：对0，因为nnn111,因为nanannanan222222)(1（此处不妨设0a，若0a，显然有1lim22nann）所以要使得122nan，只须na2就行了。即有2an.所以取][2aN，当Nn时，因为有na2122nan，所以1lim22nann。注：有时找N比较困难，这时我们可把axn适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于，那么必有axn。Eg3.设1q，证明,,,,,112nqqq的极限为0，即0lim1nnq。证明：若0q，结论是显然的，现设10q，对0，（因为越小越好，不妨设1），要使得01nq，即1nq，只须两边放对数后，lnln)1(qn成立就行了。因为10q，所以0lnq，所以qnqnlnln1lnln1。取qNlnln1，所以当Nn时，有01nq成立。定理1：（唯一性）数列nx不能收敛于两个不同的极限。证明：设a和b为nx的任意两个极限，下证ba。由极限的定义，对0，必分别自然数21,NN，当1Nn时，有axn…(1)当2Nn时，有bxn…(2)令21,NNMaxN，当Nn时，（1），（2）同时成立。现考虑：2)()(axbxaxbxbannnn由于ba,均为常数ba，所以nx的极限只能有一个。注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。若axnnlim，limnnxb，则ab若0()lim()xxxfxA0()lim()xxxfxB，则AB定理2.（有界性）若数列nx收敛，那么它一定有界，即：对于数列nx，若正数M，对一切n，有Mxn。证明：设axnnlim，由定义对,1自然数,N当Nn时，1axn，所以当Nn时，aaaxxnn1，令}1,,{21axxxMaxMN，显然对一切n，Mxn。注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列1)1(nnx是有界的（1nx），但函数收敛。此点希望注意！（i）若axnnlim，则0M使得对,nN恒有nxM（ii）若0lim()xxfxA，则0M当0:0xxx时，有()fxM（iii）若lim()xfxA，则0,0MX当xX时，有()fxM（3）局部保号性（i）若axnnlim且0(0)aa或则NN，当nN时，恒有0(0)nnxx或（ii）若0lim()xxfxA，且0(0)AA或，则0当0:0xxx时，有()0(()0)fxfx或五．函数的极限：定义1：如果对0（不论它多么小），总0，使得对于适合不等式00xx的一切x所对应的函数值)(xf满足：Axf)(，就称常数A为函数)(xf当0xx时的极限，记为Axfn)(lim，或Axf)(（当0xx时）注1：“x与0x充分接近”在定义中表现为：0，有00xx，即),(0xUx。显然越小，x与0x接近就越好，此与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依赖于。一般地，越小，相应地也小一些。2：定义中00xx表示0xx，这说明当0xx时，)(xf有无限与)(0xf在0x点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0xf值也无关）。3：几何解释：对0，作两条平行直线AyAy,。由定义，对此0,。当00xxx，且0xx时，有AxfA)(。即函数)(xfy的图形夹在直线AyAy,之间（)(0xf可能除外）。换言之：当),(0xUx时，),()(AUxf。从图中也可见不唯一！定理1：（保号性）设Axfxx)(lim0，（i）若)0(0AA，则0，当),(0xUx时，0)(xf)0)((xf。（ii）若)0)((0)(xfxf，必有)0(0AA。证明：（i）先证0A的情形。取2A，由定义，对此0,，当),(0xUx时，2)(AAxf，即0)(232)(220xfAAAxfAAA。当0A时，取2A，同理得证。（ii）(反证法)若0A，由(i)0)(xf矛盾，所以0A。当0)(xf时，类似可证。注：(i)中的“”，“”不能改为“”，“”。在(ii)中，若0)(xf，未必有0A。定义2：对0，0，当00xxx时，[当00xxx时]，有Axf)(.这时就称A为)(xf当0xx时的左[右]极限，记为Axfxx)(lim00或Axf)0(。[Axfxx)(lim00或Axf)0(0]。定理2：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim00000。定义3：设)(xf当)0(aax时是有定义的，若对)(,0aX，当Xx时，有Axf)(，就称A为)(xf当x时的极限，记为Axfx)(lim或Axf)(（当x时）。注：1：设)(xf在]),((),,[ba上有定义，若对0,0X，当)(XxXx时，有Axf)(，就称A为)(xf当)(xx时的极限，记为Axfx)(lim，或Axf)(（当x）（Axfx)(lim，或Axf)(（当x））。2：AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim。3：若Axfx)(lim，就称Ay为)(xfy的图形的水平渐近线（若Axfx)(lim或Axfx)(lim，有类似的渐近线）。六．无穷大与无穷小定义：设与为x在同一变化过程中的两个无穷小，若0lim，就说是比高阶的无穷小，记为)(o；若lim，，就说是比低阶的无穷小；若0limC，，就说是比同阶的无穷小；若1lim，就说与是等价无穷小，记为~。当0x时，2x是x的高阶无穷小，即)(2xox在目前，常用当0x时，等价无穷小有：221~cos1,~arctan,~arcsin,~tan,~sinxxxxxxxxxx；注1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22xoxxox，但)()(xoxo，因为)(o不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2.等价无穷小具有传递性：即~~,~3.未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0x时，xx1sin与2x既非同阶，又无高低阶可比较，因为201sinlimxxxx不存在；4.用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若,,,均为x的同一变化过程中的无穷小，且~,~，及lim，那么limlim。注：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！【但，并不是不能用！！】代换后的结果如果没有在加减运算中消掉的话，就可以用！例如：limx→0x+sinxx，若是将sinx换成x，x不会在加减运算中被消去，因此这个是可以用的。再例如：limx→0x−sinxx3这个极限如果将sinx换成x就不行了，因为这个x会在加减运算中被消去，这个就不能。【虽然这个方法成立，但是老师在改题的时候就不会想这么多，只要跟课上他讲的不一样就是错的，所以这个方法还是下来自己用好了】while的条件是while(scanf(%d,&n)==1)，意思是成功输入一个n就进入循环定义1：对,0若)0(0X，使得当)(00Xxxx时，有)(xf成立，就称)(xf为当)(0xxx时的无穷小，记为)0)(lim(0)(lim0xfxfxxx。定理1：当自变量在同一变化过程0xx（或x）中时：（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：A为)(xf的极限Axf)(为无穷小。（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限定义2：若对)0(0,0XM，使得当)(00Xxxx时，有Mxf)(，就称)(xf当)(0xxx时的无穷大，记作:))(lim()(lim0xfxfxxx。6、无穷小量与无穷大量