高等数学-方明亮-第五章

1习题5.11.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）xxd11,（2）xxRRRd22,（3）xxdcos02,（4）xxd11.解：若xxfxfbaxabd)(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(xfy，直线bxax,及x轴所围成平面图形的面积.若bax,时，xxfxfabd)(,0)(则在几何上表示由曲线)(xfy，直线bxax,及x轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，0)(d1111AAxx.（2）由上图（2）所示，2πd2222RAxxRRR.（3）由上图（3）所示，0)()(dcos5353543π20AAAAAAAxx.（4）由上图（4）所示，1112122d611Axx.2.设物体以速度12tv作直线运动，用定积分表示时间t从0到5该物体移动RRORxy2A(2)-1-1111A1AOxy(1)Oxy1-13A4A5A2ππ(3)1111Oxy6A6A(4)2的路程S.解：sttd)12(053.用定积分的定义计算定积分baxcd,其中c为一定常数.解：任取分点bxxxxan210,把],[ba分成n个小区间],[1iixx)2,1(ni，小区间长度记为xi=ix-1ix)2,1(ni,在每个小区间iixx,1上任取一点i作乘积iixf)(的和式：niniiiiiabcxxcxf111)()()(,记}{max1inix,则)()(lim)(limd00abcabcxfxcniiiba.4.利用定积分定义计算120dxx.解：上在]1,0[)(2xxf连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对0,1n等分，分点iininix;1,,2,1,取相应小区间的右端点，故niiiniiiniiixxxxf12121)(=niniinnni1232111)(=311(1)(21)6nnnn=)12)(11(61nn当时0（即时n），由定积分的定义得：120dxx=31．5.利用定积分的估值公式，估计定积分1134)524(xxxd的值.解：先求524)(34xxxf在1,1上的最值，由0616)(23xxxf,得0x或83x.比较7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(ffff的大小，知11,102427maxminff，由定积分的估值公式，得)1(1d)524()]1(1[max1134minfxxxf,3即22d)524(512271134xxx.6.利用定积分的性质说明10dxex与10d2xex，哪个积分值较大？解：在0,1区间内：22xxxxee由比较定理：10dxex10d2xex7.证明：2121212d22xeex。证明：考虑21,21上的函数2xey，则22xxey，令0y得0x当0,21x时，0y当21,0x时，0y∴2xey在0x处取最大值1y，且2xey在21x处取最小值21e.故21212121212121d1dd2xxexex，即2121212d22xeex。8.求函数21)(xxf在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值11224π21π21d1)1(11xx9.设)(xf在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何)1,0(a有axxfaxxf010d)(d)(.证明：axxfaxxf010d)(d)(=aaxxfaxxf00d)(d)(1d)(axxfa10d)(d)()1(aaxxfaxxfa=)()1()()1(afaafa)]()([)1(ffaa其中1,0aa4又)(xf单调减，则)()(ff，故原式得证.习题5-21.计算下列定积分（1）40d2xx;（2）122d||xxx;（3）π20d|sin|xx;(4)xxxd}1,max{10.解：（1）xxxxxxd)2(d)2(d24220404)221()212(422202xxxx（2）122d||xxx=023d)(xx+103dxx=10402444xx=4+41741.（3）π20d|sin|xx=π0dsinxx+π2πd)sin(xx=π2ππ0cos)cos(xx=2+2=4.(4)xxxd}1,max{10=54dd)1(121210xxxx.2.计算下列各题：（1）10100dxx，（2）41dxx，（3）10dexx,（4）xxd10010,（5）xxdsin2π0,（6）xxxde210,（7）xxd)π2sin(2π0,（8）xxxd2lne1,（9）102100dxx,（10）4π02dcostanxxx,解：（1）10100dxx=101110110101x.（2）41dxx=314324123x.（3）1eede1010xxx.（4）xxd10010=100ln99100ln10010x.（5）1cosdsin2π02π0xxx.5（6）21e2e)(de21de1021010222xxxxxx.（7）xxd)π2sin(2π0=)π2(d)π2sin(212π0xx=2π0)π2cos(21x=1.(8)xxxd2lne1=)d(lnln21e1xx=41ln41e12x.(9)102100dxx=102)10(1d1001xx=1010arctan101x=101arctan101.（10）4π02dcostanxxx=4π0)tand(tanxx=4π022)(tanx=21.3.求下列极限（1）xttxxπcos1dπsinlim11;（2）202arctandlim1xxttx.解：（1）此极限是“00”型未定型，由洛必达法则，得xttxxπcos1dπsinlim11=)πcos1()dπsin(lim11xttxx=π1)π1(limπsinππsinlim11xxxx（2）2201222arctandarctanlimlim11122xxxttxxxx型221arctanlimxxxx2211arctanlimxxxxx2221lim1arctan4xxx4.设xtty0d)1(，求y的极小值解：当'10yx，得驻点1x，''10.1yx为极小值点，极小值1021-dx)1()1(xy5.设1,211,12xxxxxf，求20dxxf。6解：2121020d21d1dxxxxxxf386121213102xxx6.设其它,00,sin21xxxf，求xttfx0d。解：当0x时，0d0d00xxtttfx当x0时，2cos1dsin210xttxx当x时，1d0dsin21ddd000xxxtttttfttfttfx故时当时当时当xxxx,10,cos1210,07.设xf是连续函数，且10d2ttfxxf，求xf。解：令Attf10d，则Axxf2，从而AxAxxxf221d2d1010即AA221，21A∴1xxf8．2221limnnnnn。解：原式nnnnnn121lim32d1lim101xxnninin9．求nknknknnene12lim。解：原式nknknknnee1211lim4d110102arctgearctgexeexxx10．求由0dcosd00xytttte所决定的隐函数y对x的导数xydd。解：将两边对x求导得7yexydd0cosx∴xyddyexcos习题5-31.下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）xxxdcoscos2π2π3=xxxdsin)(cos2π2π21=)cosd()(cos2π2π21xx=0cos322π2π23x.（2）111122)sind()(sin1d1ttxx=11dcoscosttt=112d)(costt=2102d)(costt=22sin211)2sin21(d22cos11010tttt.答：（1）不正确，应该为：xxxxxxdsin)(cos2dcoscos212π2π2π03=343cos4)cos)(cos220232021ππd(xxx（2）不正确，应该为：112π2π2π2π222d)(cos)sind()(sin1d1ttttxx=22π02π02π02)2sin21(d22cos12d)(costttttt2π.2.计算下列定积分:(1)xxd16402,(2)102d41xx.（3）203cossinxdxx；（4）xxxdlne12；（5）xexd12ln0；（6）1145dxxx；（7）411dxx；（8）xxdsin203；（9）21ln1dexxx；8(10)02222dxxx；(11)xxd2cos10；（12）1022d1xxx。解：（1）令x=tsin4,则ttxtxdcos4d,cos4162,当x=0时，t=0；当x=4时，2πt，于是xxd16402=π4)2sin48(d)2cos1(8dcos4cos42π02π020ttttttt（2）102d41xx=102)2d()2(1121xx=21arctan212arctan2110x.(3)203cossinxdxx41cos41dcoscos204203xxx(4))d(lnlndlne12e12xxxxx31])1(ln)e[(ln31)(ln3133e13x(5)令tex1，1ln2tx，tttxd12d2，0x时0t；2lnx时，1t.于是tttttxexd1112d12d110210222ln0412arctan210xtt(6)令ux45，则4452ux，uuxdd2.当1x时，3u，当1x时，1u.原式61d581132uu.(7)令tx，ttxd2d.当1x时，1t；当4x时，2t.原式2121211dd21d2tttttt32ln221ln22121tt(8)因为xxdsin203=xxxxxxxxdsincosdsindsin]cos1[202202021cosdsin2020