高等数学-第9章 - (偏导数 全微分)

高等数学课程相关•教材及相关辅导用书▫《高等数学》第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社2010.8.▫《高等数学精品课程下册》第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.《高等数学》第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.《高等数学学习辅导与习题选解》（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编高等教育出版社,2014.8.•第九章多元函数微分学▫9.1多元函数的基本概念▫9.2偏导数▫9.3全微分▫9.4多元复合函数的求导法则▫9.5隐函数的求导公式▫9.6多元函数微分学的几何应用▫9.7方向导数与梯度▫9.8多元函数的极值▫9.9综合例题9.2偏导数•1.偏导数的概念及计算方法•2.高阶偏导数9.3全微分•1.全微分的概念及计算方法•2.全微分在近似计算中的应用一元函数的导数表示函数的变化率，对于多元函数同样需要讨论函数的变化率，我们常常需要研究某个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情况下，只随一种因素变化的变化率问题。反映在数学上就是所谓的偏导数问题，现以二元函数为例，引入偏导数的概念。一、偏导数的定义与计算方法1.偏导数的概念定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000(1)存在，(1)f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数),(yxfz),(00yxx则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.例如，极限(1)可以表示为x,yxfyxxfyxfxx)(),(lim),(0000000同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.y,yxfyyxfyxfyy)(),(lim),(0000000即如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.（2）偏导函数(3)偏导数概念可推广到二元以上的函数处在如),,(),,(zyxzyxfu,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz00),(),(00yyxxxxyxfyxf00),(),(00yyxxyyyxfyxf说明例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解2．偏导数的计算仍然是一元函数的求导公式和求导法则，对某一个自变量求偏导时，其余的自变量看作常量。yxxz32yxyz238231221yxxz7221321yxyz例2设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.证明xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．(1)偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;(2)求fx(x0，y0)时，可先将y0代入得),(),(0xyxf，再求dxd，即dxyxdfdxd),(0最后再将x0代入.,arcsin)1(),(2yxyxyxf,)1,(2xxf;),(),(xdxxdfxfx2114)1,2(xf例4解).1,2(),1,(xxfxf求说明.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数求设yxfyxyxyxxyyxf例5解,)0,0(),(时当yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx,)()(22222yxxyy22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy,)()(22222yxyxx(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,)0,0(),(时当yx按定义可知：xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0yy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxyxxyxfy3.偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图偏导数𝑓𝑥𝑥0,𝑦0就是曲面被平面𝑦=𝑦0所截得的曲线在点𝑀0处的切线𝑀0𝑇𝑥对𝑥轴的斜率。偏导数𝑓𝑦𝑥0,𝑦0就是曲面被平面𝑥=𝑥0所截得的曲线在点𝑀0处的切线𝑀0𝑇𝑦对𝑦轴的斜率。),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx例6定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题：混合偏导数都相等吗？,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu2222yuxu.02222222222)()(yxyxyxxy例7验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu解221ln(),2xy例8证明函数ru10222222zuyuxu,其中222zyxr满足方程证明,)(212222221zyxzyxuxzyxxu2)(21232222322222)(zyxxu.31523rxr23222)(zyxxxzyxx2))(23(25222由于函数关于自变量的对称性，所以.31,315232252322rzrzuryryu因此222222zuyuxu52223)(33rzyxr033523rrr因此函数ru1满足方程0222222zuyuxu9.3全微分一、全微分的定义二、可微的必要和充分条件三、全微分在近似计算中的应用四、小结ΔxΔyxy如图，一边长分别为x、y的长方形金属薄片，受热后在长和宽两个方向上都发生变化，分别为Δx、Δy，那么该金属薄片的面积A改变了多少？xy)yy)(xx(AyxyxxyΔA称为面积函数A=xy的全增量，由两部分组成：yxxyΔx，Δy的线性部分yx当(Δx,Δy)→(0,0)时，是一个比22)y()x(高阶无穷小。定义设函数在点(x，y)的某个邻域内有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内，如果函数在点（x，y）的全增量)y,x(fz)y,x(fz)y,x(f)yy,xx(fz可以表示为)(yBxAz其中A，B与Δx,Δy无关，)(是当22)y()x(→0时比ρ高阶的无穷小。则称函数在点)y,x(fz（x，y）处可微，yBxA称函数在点(x,y)处的全微分，记作dz或df(x,y)，即yBxAdz显然，dz≈Δz一、全微分二可微的必要和充分条件定理（可微的必要条件）如果函数在点（x，y）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且)y,x(fzyyzxxzdz证明：)y,x(fz由函数在点（x，y）处可微有)(yBxAz所以0)]y,x(f)yy,xx(f[limzlim0y0x0y0x即)y,x(f)yy,xx(flim0y0x因此，函数在点（x，y）连续。)y,x(fz又因为中的A，B与)(yBxAzΔx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。不妨取Δy=0，则有|)x(|xAz上式两边同除以Δx，再令Δx→0，则有Ax|)x(|limAx)y,x(f)y,xx(flim0x0x即说明存在，且xzAxz同理可证存在，且yzByz故有yyzxxzdz注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数在点（x，y）可微。)y,x(fz讨论函数：0yx00yxyxxy222222由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。定理（可微的充分条件）如果函数的两个偏导数在点（x，y）都存在且连续，则该函数在该点可微。)y,x(fzyz,xz以上有关概念和定理均可以推广到三元及三元以上的函数中去。由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元函数的全微分习惯上可写为)y,x(fzdyyzdxxzdz类似地，三元函数的全微分为)z,y,x(uudzzudyyudxxudu例1求函数的全微分。62354yxxyz解：先求函数的两个偏导数：522633012104yxxyyzxyyxz所以dyyxxydxxyydz)3012()104(5263例2求函数在点（2，-1）处的全微分。32),(yxyxf解：因为12)1,2(,4)1,2(3),(,2),(223yxyxffyxyxfxyyxf所以dydxdz124|)1,2(例3设函数在点（0，0）有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。)y4x3sin(ezyx2解：3)y4x3cos(e3)y4x3sin(e2xz0y0xyx2yx20y0x4)y4x3cos(e4)y4x3sin(eyz0y0xyx2yx20y0x所以8.13.042.03yyzxxzdz