高等数学5-1定积分的概念及性质

1第五章积分学不定积分定积分定积分2第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质3一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.?A)(xfy4abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，或说分割的越来越细，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）5观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放61xix1ixayo解决步骤:1)分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;在第i个小区间上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi2)近似替代（以直代曲）73)求和.(曲边梯形面积的近似值为:)niiAA1niiixf1)(4)取极限.令曲边梯形面积为：niiAA10limniiixf10)(limayo1xix1ixi,1},max{2nxxx即小区间的最大长度当分割无限加细时，082.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.已知速度思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．9（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度（3）求和iinitvs)(1（4）取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值解决步骤:（2）近似替代（以直代曲）10上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“分割，近似、求和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限•所求量只和两个因素有关:函数、函数的变化范围11二、定积分的定义设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，定义12怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为13baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba14注意：（2）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，称)(xf在区间],[ba上可积.(1)定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(15定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:16定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和17几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(18o1xyni例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取2xyiiiixxf2)(则32niiinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nn19o1xyniiniixxx120102limdnlim312xy20对定积分的补充规定:（2）当ba时，0)(badxxf；（1）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．三、定积分的性质0d)(aaxxf21证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）1.22babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk2.23badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例:若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf则假设bca3.（定积分对于积分区间具有可加性）24dxba1dxbaab.4.0)(1iinixf证:5.若在[a,b]上则baxxfd)(0)(lim10iinixf推论1.若在[a,b]上则25例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx26推论2.证:)(xf)(xf)(xf)(baxxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的27例2.试证:证:设)(xf,sinxx则在),0(2上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2,1)(xf),0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120xxx28证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）6.设,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba则)(ba29例3估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx30例4估计积分dxxx24sin的值.解,sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx]2,4[x,0)(xf在]2,4[上单调下降,故4x为最大值点，2x为最小值点,31,22)4(fM,2)2(fm,442ab,422sin4224dxxx.22sin2124dxxx327.积分中值定理则至少存在一点使))((d)(abfxxfba证:,,],[)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质6可得根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在],[ba使因此定理成立.积分中值公式33在区间],[ba上至少存在一个点，积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为底边、以曲线)(xfy为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。34说明:•可把)(d)(fabxxfba•积分中值定理对或曲边梯形平均高度。•定理可以进一步改造：把结论中的闭区间改成开区间（见书P239例6）。35例4设)(xf可导，且1)(limxfx，求dttfttxxx2)(3sinlim.解由积分中值定理知有],2,[xx使dttfttxx2)(3sin),2)((3sinxxfdttfttxxx2)(3sinlim)(3sinlim2f)(3lim2f.636证明：在(a,b)内存在一点使得例.设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且存在(a,b)内一点c，使得：3701xn1n2nn1思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1(0x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx382.定积分性质中指出，若)(),(xgxf在],[ba上都可积，则)()(xgxf或)()(xgxf在],[ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？39解:由)()(xgxf或)()(xgxf在],[ba上可积，不能断言)(),(xgxf在],[ba上都可积。为无理数，为有理数xxxf0,1)(为无理数，为有理数xxxg1,0)(显然)()(xgxf和)()(xgxf在]1,0[上可积，但)(),(xgxf在]1,0[上都不可积。例上述例子实际上提供了一个有界函数但不是可积函数的反例。说明有界是可积的必要条件55