梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理【定理内容】如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么1EACEDCBDFBAF.[评]等价叙述：ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上有三点F、D、E，则F、D、E三点共线的充要条件是1EACEDCBDFBAF。三点所在直线称为三角形的梅氏线。【背景简介】梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。【证法欣赏】证法1：（平行线分线段成比例）证：如图，过A作BCAG//交CF延长线于G，∵BCAG//，∴BDAGFBAF，AGCDEACE，又CDBDCDBDDEFABCFEDCBAGDEFABCGFEDCBA中学数学中的著名定理~1~则1CDBDAGCDBDAGCDBDEACEFBAF∴1EACEDCBDFBAF证法2：（正弦定理）证：如图，令AEF，AFE，BDE，在AEF中，由正弦定理知：sinsinAEAF，同理sin)180sin(sinBDBDBF，sinsinCECD∴sinsinAEAF，sinsinBFBD，sinsinCDCE，∴1CDCEBFBDAEAF，即1EACEDCBDFBAF.【逆定理】梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点F、D、E分别在ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足1EACEDCBDFBAF，那么F、D、E三点共线。[注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线DEFABCFEDCBADEFABCFEDCBA中学数学中的著名定理~2~【定理应用】梅涅劳斯定理的应用定理1：若ABC的A的外角平分线交边BC延长线于P，B的平分线交边AC于Q，C的平分线交边AB于R，则P、Q、R三点共线。证：由三角形内、外角平分线定理知，CABAPCBP，ABBCQACQ，CBCARBAR，则1ABBCCABACBCAQACQPCBPRBAR，故P、Q、R三点共线。【定理应用】梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线。证：∵CR是⊙O的切线，∴RAC∽RCB，∴CBACRBRCRCRA，则2)(CBACRBRCRCRARBRA，同理：2)(ACABCPBP，2)(BABCQACQ∴1)()()(222ABBCCABACBCAQACQPCBPRBAR，故P、Q、R三点共线。FPQRCBAQRPOCBA中学数学中的著名定理~3~【定理应用】【例1】已知：过ABC顶点C的直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E.求证：FBAFEDAE2.证明：直线CEF截ABD，由梅涅劳斯定理，得：1EADECDBCFBAF又CDBC2，∴21EADEFBAF，则FBAFEDAE2[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等，详情参看《初中数学一题多解欣赏》．【定理应用】【例2】已知：过ABC重心G的直线分别交边AB、AC及CB延长线于点E、F、D.求证：1FACFEABE.证：连接AG并延长交BC于M，则CMBM，∵DEG截ABM，∴由梅氏定理得，1DBMDGMAGEABE；同理：1DCMDGMAGFACF∴MDDBAGGMEABE，MDDCAGGMFACF，∴11221)(MDDCDBAGGMMDAGDCDBGMFACFEABE即1FACFEABEEDABCFDFGMABCE