八年级数学第十四章14.3.2平方差公式因式分解

学习目标：（1）掌握用平方差公式分解因式的方法。（2）掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。（3）体会整式乘法与分解因式之间的联系。（4）通过乘法公式:(a+b)(a+b)=a2-b2逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？3、你能将a2-b2进行因式分解吗？2、判断下列各式是因式分解的有（1）(x+2)(x-2)=x2-4(2)x2-4=(x+2)(x-2)(3)x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x（2）(a+b)(a-b)=a2-b2.反过来，a2-b2=(a+b)(a-b)根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？1．(2x-1)2=4x2-4x+13．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)2.3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1))21(2.42aaaaa-+=-+否是否否把下列各式进行因式分解1.a3b3-a2b-ab2.-9x2y+3xy2-6xyab(a2b2-a-1)-3xy(3x-y+2)和老师比一比，看谁算的又快又准确！比一比322-312682-6725.52-4.52815()2715()2-在横线内填上适当的式子，使等式成立：（1）（x+5)(x-5)=;（2）（a+b)(a-b)=;（3）x2-25=(x+5)();（4）a2-b2=(a+b)()。x2-25a2-b2x-5a-b知识探索平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2整式乘法因式分解这种分解因式的方法称为公式法。a2-b2=(a+b)(a-b)))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式。(2)公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。))((22bababa-+=-▲▲▲两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。注意：与整式乘法中的平方差公式不一样。平方差公式的特点：（1）两项的多项式。（2）两项都是平方项或是都能化为平方项。（3）两项的符号相反。))((22bababa-+=-▲▲▲下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。(1)m2－1(2)4m2－9(3)4m2+9(4)x2－25y2(5)－x2－25y2(6)－x2+25y2=m2－12=(2m)2－32不能转化为平方差形式＝x2－(5y)2不能转化为平方差形式=25y2－x2=(5y)2－x2a2－b2=(a＋b)(a－b)铺路之石填空：（1）＝（)2;(2)0.81＝（)2;（3）9m2＝()2;(4)25a2b2=()2;(5)4(a-b)2=[]2;(6)(x+y)2=[]2。首页上页下页13611614±(x+y)±0.9±3m±5ab±2(a-b)16±做一做（1）a2-16（2）64-b2你能试着把下列各式分解因式吗？＝a2-()2＝()2-b248＝（a+4)(a-4)＝（8+b)(8-b)解一：原式222baa-=babaa-+=2224baa-例1把下列各式分解因式：xx3313-解：原式132-=xx113-+=xxx下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？如不能说明理由。①x2+y2②x2-y2③-x2+y2④-x2-y2=(x+y)(x-y)=y2-x2=(y+x)(y-x)分解因式：(1)4x2-9(2)(x+m)2-(x+n)2解:（1）4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)(2)(x+m)2-(x+n)2=[(x+m)+(x+n)][(x+m)-(x+n)]=(2x+m+n)(m-n)注意：公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的a、b可以是一个数、一个单项式也可以是一个多项式。分解因式：25(x+m)2-16(x+n)2解：25(x+m)2-16(x+n)2=[5(x+m)]2-[4(x+n)]2=[5(x+m)+4(x+n)][5(x+m)-4(x+n)]=(5x+5m+4x+4n)(5x+5m-4x-4n)=(9x+5m+4n)(x+5m-4n)1、分解因式：①x4-y4②a3b-ab解：①x4-y4=（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)②a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。（1）（2）（3）（4）多项式分解因式的结果22-+aa216x--+abab211211229myx-+42-axx-+4422411ba-myxmyx33-+++2、分解因式：xm+2-xm解：xm+2-xm=xmx2-xm=xm(x2-1)=xm(x+1)(x-1)注意：若有公因式则先提公因式。然后再看能否用公式法。利用因式分解计算：1002-992+982-972+962-952+…+22-12解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+…+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+…+2+1=5050小结:1.因式分解的步骤是首先如有公因式提取公因式,然后考虑用公式.2.因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.3.计算中应用因式分解,能使计算简便.=(4x+y)(4x－y)=(2x+y)(2x－y)3131=(2k+5mn)(2k－5mn)把下列各式分解因式：a2－b2=(a＋b)(a－b)看谁快又对=(a+8)(a－8)（1）a2－821（2）16x2－y22(3)－y2+4x2913(4)4k2－25m2n24))((22bababa-+=-20062－20052=（2mn）2-3xy)2=(x+z)2-y+p)2=结论：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。解决问题例1：把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2(2)9(a+b)2-4(a-b)2(3)(x+p)2-(x+q)2在使用平方差公式分解因式时，要注意：先把要计算的式子与平方差公式对照,明确哪个相当于公式中的a,哪个相当于公式中的b.牛刀小试(一）把下列各式分解因式：②0.25m2n2–1③(2a+b)2-(a+2b)2①x2-116y2④25(x+y)2-16(x-y)2利用因式分解计算：牛刀小试（二）（1）2.882-1.882；（2）782-222。首页上页下页解决问题例2：如图，求圆环形绿地的面积。不信难不倒你！用你学过的方法分解因式：4x3-9xy2结论：多项式的因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。方法：先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。分解因式：1.4x3-4x2.x4-y4结论：分解因式的一般步骤：一提二套多项式的因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。解：1.4x3-4x=4x(x2-1)=x(x+1)(x-1)2.x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)a2-b2=(a+b)(a-b)如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积。考考你你知道992-1能否被100整除吗？说说你是怎么想的？