3.2.1几个常用函数的导数

3.2.1几个常用函数的导数高二数学选修1-1第三章导数及其应用一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数.说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数.3.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf4.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。0()fx（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().yfxfxxx二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0()CC公式一：为常数:(),yfxC解1)函数y=f(x)=c的导数.()()0,yfxxfxCC0,yx0()lim0.xyfxCx二、几种常见函数的导数'1x公式二：:(),yfxx解2)函数y=f(x)=x的导数.()()(),yfxxfxxxxx1,yx0()'lim1.xyfxxx二、几种常见函数的导数2'2xx公式三：（）2:(),yfxx解3)函数y=f(x)=x2的导数.222()()()2,yfxxfxxxxxxx222,yxxxxxxx220002()()'limlimlim(2)2.xxxyxxxfxxxxxxx二、几种常见函数的导数211'xx公式三：（）1:(),yfxx解4)函数y=f(x)=1/x的导数.11()()()xyfxxfxxxxxxx1,()yxxxx200111()()'limlim.()xxyfxxxxxxx21)()2)(),3)(),14)(),yfxCyfxxyfxxyfxx'1y21'yx'2yx表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1这又说明什么?'0y表示y=C图象上每一点处的切线斜率都为0这又说明什么?探究：画出函数y=1/x的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。x+y-2=0熟记下列公式：公式:.)()(1Qnnxxnn请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nn例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。三.典例分析题型：求曲线的切线方程'2yx解(1),(2)：2(1,1),(2,4)PQyx都是曲线上的点。11'|2,xPy过点的切线的斜率k22'|4,xy过Q点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy过点的切线方程:即：。44(2),440yxxy过Q点的切线方程:即：。例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。三.典例分析题型：求曲线的切线方程'2yx解(3)：411,21PQ直线的斜率k11,440214yxxy与PQ平行的切线方程:即：。00'|21,xxyx切线的斜率k01,2x11(,)24M切点;2)11.yxy例2.已知，（1)求（求曲线在点（，）处的切线方程12()'()'yxx解1)：1:1(1).2yx2)切线方程11212x1.2x1212x22x11即：y=练习1：求双曲线y＝1x在点(2，12)处的切线方程．解：∵y′＝－1x2，∴y′|x＝2＝－14.∴切线方程为y－12＝－14(x－2)，即：x＋4y－4=0练习2：求抛物线y＝14x2在点(4，74)处的切线方程．00,),xy解：设切点(01',2kyx又切线0001(),2yyxxx切线方程：74切线过(4,),20014yx①00071(4)42yxx，200017224yxx②0017xx解①②得:或149),44切点为(1，)或(7,11491(1)(4)4242yxyx切线方程：或24104490xyxy即：或14例3求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20－2故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0②又∵(1，－1)在切线上，解得x0＝1或x0＝－12.∴将②代入③式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．故所求的切线方程为：y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.∴－1－y0＝(3x20－2)(1－x0)③则切线斜率为k＝1或k＝-54化简得2x30－3x20+1＝0．分解因式得(x0-1)2(2x0+1)＝0．练习：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，又曲线过点(2，－1)，曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，所以4a＋2b＋c＝－1.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.解得a＝3，b＝－11，c＝9.四、小结2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.1.会求常用函数的导数.其中:21,,,,ycyxyxyx公式1:.0()CC为常数五、练习:求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积。