3.2.1直线的点斜式方程

αl倾斜角•x轴正方向与直线向上方向之间所成的角α.倾斜角倾斜角的范围：0180一.复习:xyO斜率•①倾斜角:0°≤α180°•②斜率:k=tanα(α≠900)0tan(90)k211221()yykxxxx900k当0时，1800k当90时，3.斜率和倾斜角的关系：00k时，90k时，不存在一.复习:1.表示直线倾斜程度的量：2.斜率的计算方法:（1）已知直线上的一点和和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线.（2）已知两点也可以确定一条直线.OxyLP1P2α这样，在直角坐标系中，(1)给定一个点和斜率；(2)给定两点.确定一条直线的几何要素：确定一条直线！也就是说，平面直角坐标系中的点在不在这条直线上是完全确定的.一.复习:lxyOα(一)问题：我们能否用给定的条件：(1)点P0的坐标和斜率k；(2)两点P1,P2的坐标.将直线上所有点的坐标(x,y)满足的关系表示出来呢？(二)如图,设直线l经过定点P0(x0,y0),且斜率为k.P0(x0,y0)显然，若经过定点P0且斜率为k，则这两个条件确定这条直线.这就是下面我们要研究的直线方程问题.(Ⅰ)点斜式方程①直线l上任意一点的坐标都是方程(2)的解(满足方程)00(2)yykxx（）②坐标满足方程(2)的任意一组解都是直线l上的点.点斜式xylP0(x0,y0)OP说明：①斜率要存在！②方程(1)是有缺点的直线；而方程(2)表示一条完整的直线.解:设P(x,y)是直线L上不同于P0的任意一点.特殊情况:(1)l与x轴平行或重合时:0yy00yy000()yyxx直线上任意点纵坐标都等于y0xylP0(x0,y0)y0O倾斜角α为0°斜率k=0代入点斜式得：特殊情况:P0(x0,y0)(2)l与x轴垂直时:直线上任意点横坐标都等于x0xylx0O0xx00xx倾斜角为90°斜率k不存在!不能用点斜式求方程!但是直线是存在的.点斜式方程xyl00()yykxxxylxylO000yyyy或000xxxx或①倾斜角α≠90°②倾斜角α=0°③倾斜角α=90°y0x0小结例1：00(-2,3)45lPl直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线.解：将已知条件代入点斜式方程得y-3=x+2,即y=x+5.画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1,y1)，例如，取x1=－1,y1=4，得P1的坐标(－1,4)，则过P0,P1的直线即为所求．y1234xO-1-2l1P0P1.写出下列直线的点斜式方程：练习2),1,3()1(斜率是经过A030),2,2()2(倾斜角是经过B00),3,0()3(倾斜角是经过C.120),2,4()4(0倾斜角是经过D321)1(xy)2(332)2(xy03)3(y432)4(xy2.填空题.练习,12xy(1)已知直线的点斜式方程是那么此直线的斜率是,倾斜角是；(2)已知直线的点斜式方程是那么此直线的斜率是,倾斜角是；)1(32xy1o453o60练习3.设直线经过点P0(0,b)，其斜率为k，求直线方程.(Ⅱ)斜截式方程xylP0(0,b)设直线经过点P0(0,b)，其斜率为k，求直线方程.(0)ybkx斜截式ykxb斜率截距说明:(1)当知道斜率和截距时用斜截式.(2)斜率k要存在，纵截距b∈R.解：代入点斜式方程，得，截距与距离的区别：距离是大于或等于0的数，截距可以为一切实数.截距与距离的区别：练习2.写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是,在y轴上得截距是—2；(2)斜率是—2,在y轴上得截距是—4.23..1距指出下列一次函数的截).()3(;3)2(;12)1(00xxkyyxyxyP94．例2：xyl1b1l2b21212121//,.llkkbb（）且121221llkk（）上述结论成立的前提条件：有斜率且非零！当直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2时,有练习4.判断下列各对直线是否平行或垂直：;221:,321:)1(21xylxyl.53:,35:)1(21xylxyl典例讲解(1)经过点A(－2,5)且与直线3x＋4y－20＝0平行；(2)经过点A(－2,5)且与直线3x＋4y－20＝0垂直．解：(1)由直线3x＋4y－20＝0知斜率k＝－34，由两条直线平行知所求直线斜率为－34，∴所求直线方程为y－5＝－34×(x＋2)，即y＝－34x＋72.1.求下列直线的方程：典例讲解(2)经过点A(－2,5)且与直线3x＋4y－20＝0垂直．根据题意得12·|4k－5|·|5k－4|＝5，即(5k－4)2＝10|k|.当k0时，原方程可化为(5k－4)2＝10k，解得k1＝25，k2＝85；当k0时，原方程可化为(5k－4)2＝－10k，此方程无实数解．故直线l的方程为y＋4＝25(x＋5)或y＋4＝85(x＋5)．即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.(2)1.求下列直线的方程：典例讲解2.已知直线l经过点P(－5，－4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．思维突破：由题意知所围三角形为直角三角形．根据直角三角形面积公式以及直线方程求出该直线在两坐标轴的坐标即可．解：由已知：l与两坐标轴不垂直．∵直线l经过点P(－5，－4)，∴可设直线l的方程为y－(－4)＝k[x－(－5)]，即y＋4＝k(x＋5)．则直线l在x轴上的截距为4k－5，在y轴上的截距为5k－4.根据题意得12·|4k－5|·|5k－4|＝5，即(5k－4)2＝10|k|.当k0时，原方程可化为(5k－4)2＝10k，解得k1＝25，k2＝85；当k0时，原方程可化为(5k－4)2＝－10k，此方程无实数解．故直线l的方程为y＋4＝25(x＋5)或y＋4＝85(x＋5)．即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.典例讲解3.已知直线l经过点P(－5，－4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．3－1.已知直线的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角解：设直线方程为y＝16x＋b，当x＝0时，y＝b，即直线与y轴的交点为(0，b)；当y＝0时，x＝－6b，即直线与x轴的交点(－6b,0)．又S＝12|b|·|－6b|＝3b2＝3，故b＝±1，∴所求直线方程为y＝16x＋1或y＝16x－1.形，求该直线的方程．练习3.求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形∴k=±1直线过点（1，2）代入点斜式方程得y-2=x-1或y－２＝－（ｘ－１）即ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－１＝0直线y=mx+2m+1恒过一定点，则此定点是（）.练习小结1.点斜式方程00()yykxx当知道斜率和一点坐标时用点斜式2.斜截式方程ykxb当知道斜率k和截距b时用斜截式3.特殊情况000yyyy或000xxxx或①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°斜率存在！作业：1.P100:习题3.2A组第1题.2.优化学案补：设直线l1：x+2ay-1=0;l2:(3a-1)x-ay-1=0.（1）若l1∥l2,求a的值；（2)若l1⊥l2，求a的值.