3.2.1立体几何中的向量方法(一)

3.2立体几何中的向量方法平面向量空间向量推广到立体几何问题思考：如何确定一个点、一条直线、一个平面在空间的位置？OPOPOPP在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点的位置向量。OP一、点的确定：aAB二、直线的确定：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.lbaO空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.n三、平面的确定：A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnn给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nnnl平面的法向量：注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnmnl.ABC),3,5,4(),1,2,2(的法向量求平面例：已知ACAB),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(求法向量的步骤：第一问题：用“方向向量”与“法向量”来解决平行、垂直问题.设直线,lm的方向向量分别为,ab，l∥ma∥bakb；线线平行：四、平行关系：lmab设直线l的方向向量分别为a，平面的法向量分别为u，线面平行：l∥au0au；四、平行关系：lua设平面,的法向量分别为,uv，∥u∥v.ukv面面平行：四、平行关系：uv11111111111BDC//DAB3BDC//AB2//DCAB1DCBA-ABCD平面）平面（平面）（）（中，求证：在正方体例：设直线,lm的方向向量分别为,ab，线线垂直：l⊥ma⊥b0ab；五、垂直关系：lamb线面垂直：l⊥a∥uaku；五、垂直关系：设直线l的方向向量分别为a，平面的法向量分别为u，ula⊥u⊥v.0vu面面垂直：五、垂直关系：设平面,的法向量分别为,uv，uvA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F1111DCBAABCD例：在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：1,DADCDD以，1(1,0,0)(1,1,,)2DADE，11(0,,1)2DF又因为00nDAnDE则由，得所以1DFADE平面ADEnxyz设平面的一个法向量为=(，，)000102xxyz12xyz则=0，不妨取，得01-2n所以=(，，)//1DFn所以利用“方向向量”与“法向量”来解决夹角问题.第二问题：两直线l,m所成的角为(02≤≤),cosabab；1、两条直线的夹角：设直线,lm的方向向量分别为,ab，lamlamb所以与所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD113041053421BD1AF3010.,,111111111111所成的角的余弦值和求，、的中点、取中，在直三棱柱AFBDFDCABACCCABCACBCCBAABC例：直线l与平面所成的角为(02≤≤),sinauau；2、直线与平面的夹角：设直线l的方向向量分别为a，平面的法向量分别为u，uaulaABCD1A1B1C1DMNxyz..24,851111111111的夹角的正弦值与平面求上，在线段，上，在，，中，在长方体AMNADANDADANMBCBMAAADABDCBAABCD例：lcoscos,ABCDABCDABCDDCBA3、二面角：①方向向量法：二面角的范围：[0,]ll②法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角二面角─l─的大小为(0≤≤),cos.uvuv3、二面角：设平面,的法向量分别为,uv，例：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.解：如图，.dABcCDbBDaAC，，，根据向量的加法法则有DBCDACAB222)(DBCDACABd2222()ACCDBDACCDACDBCDDBDBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角.CADB因此.cos22222dcbaabABCD所以.2cos2222abdcba所以库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcbaABCDSxzyA-xyz解：建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,,0),(0,,1)22CDSD2(,,),SCDnxyz的法向量22,,nCDnSD由得：设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3||||nnnnnn63即所求二面角得余弦值是.,211,所成二面角的余弦值与面求面，，平面是直角梯形，如图所示，SBASCDADBCABSAABCDSABCABABCD例：1.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,则二面角E-BC-A的大小是________090BAC090BAC6631010045利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题.第三问题：1、点与点的距离：221221221)()()(zzyyxxAB2、点与直线的距离：APO),cos(sinaAPAPd先求alA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求:点F到直线AE的距离.1111DCBAABCD例：在正方体中，E、F分别是BB1,，如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PAAPO∵PO⊥,,n∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn|.∴d=|PA||cos,PAn|=||||PAnn.nAPO3、点到平面的距离：nAPO3、点到平面的距离：nnPAdDABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyznEFnEG，|BE|211.11ndn2202420xyxyZB(2,0,0)E所以，点B到平面EFG的距离为21111.例:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.),3,1,1(n练习:如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,2ADa,、MN分别是、ADPB的中点,求点A到平面MNC的距离.APDCBMN点A到平面MNC的距离为2a.nabCDABCD为a,b的公垂线,A，B分别在直线a,b上已知a,b是异面直线,4.异面直线间的距离的方向向量，是直线CDnnABnCDd111101.4,,2,90,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。zxyABCC1).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4,2,2(),0,1,1(1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,,(,1zyxnBAEC001BAnECn即04220zyxyx取x=1,则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,2(,,ACAC在两直线上各取点.332||||1nACndBAEC的距离与EA1B15.其它距离问题：（1）平行线的距离(转化为点到直线的距离）（2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）（3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）练习1：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离.2BDCDCBCA2ADABCADBOExCABODyzE解：（I）略（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，(1,0,0),(1,0,0),BD则13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD.2cos,,4BACDBACDBACD所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为2.4（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,nADxyznACxyz0,30.xzyz1,y(3,1,3)n13(,,0),22EC令得是平面ACD的一个法向量，又.321.77ECnhn所以点E到平面ACD的距离xCABODyzE如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值;(2)OS与面SAB所成角的余弦值;(3)二面角B－AS－O的余弦值.OABCSxyz练习2：OABCSxyz(1)OAOCOS解：以，，为正交基底建立空间直角坐标系如图。(000)(001)(200)(110)OSAB则，，，，，，，，，，，(201)(110)SAOB，，，，，20010cos552SAOB，如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值;OABCSxyz如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值;(2)(201)(111)SASB解：，，，，，()SABnxyz设平面的一个法向量为，，201120xzxyzxyz