等差数列前n项和公式复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=(an-am)/(n-m)(2)等差数列的性质:在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见左图),奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗?问题呈现问题1探究发现问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?这是求奇数个项和的问题,不能简单模仿偶数个项求和的办法,需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识:高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法?探究发现问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?借助几何图形之直观性,使用熟悉的几何方法:把“全等三角形”倒置,与原图补成平行四边形。探究发现问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?12321212019121(121)212s获得算法:问题2一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?问题就是求“1+2+3+4+…+100=?”问题2:对于这个问题,德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。(你知道应如何算吗?)这个问题,可看成是求等差数列1,2,3,…,n,…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯问题3:求:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12)1(),1(2nnSnnS设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导即前n项的和与首项末项及项数有关若已知a1,n,d,则如何表示Sn呢?因为an=a1+(n-1)d所以Sn=na1+n(n-1)d/2由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量:公式共涉及到23.,,,,51nnSanda正所谓:知三求二【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫;②{an}为等差数列,这是一个关于的没有的“”倒序相加法Sn=an2+bnn常数项二次函数(注意a还可以是0)等差数列前n项和公式补充知识例2等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?本题实质是反用公式,解一个关于n的一元二次函数,注意得到的项数n必须是正整数.解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数列的前n项和,则有a1=-10,d=-6-(-10)=4根据等差数列前n项和公式:112()nnnsnad-=+1104542()有成立nnn--+?26270,整理后得nn--=解得n1=9,n2=-3(舍去)因此等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和是54.设该数列前n项和为541.推导等差数列前n项和公式的方法小结:2.公式的应用中的数学思想.-------倒序相加法-------方程思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量,可以求其余两个-------知三求二【例1】已知等差数列{an}.(1)a1=a15=Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.【规范解答】(1)∵a15=+(15-1)d=∴d=又Sn=na1+·d=-5,解得n=15,n=-4(舍).(2)由已知,得S8=解得a8=39,又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.5,63,2563,21.6nn121888aa84a,22晨郊洲谁讨尺恐她糖辙魔抛聘志睫詹跋拱正狮钒秤胞肌譬逃桩郑舞弯嗣膝[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【变式训练】在等差数列{an}中,已知a6=10,S5=5,求a8.【解析】方法一:设公差为d,∵a6=10,S5=5,∴解得∴a8=a6+2d=16.方法二:设公差为d,∵S6=S5+a6=15,∴15=即3(a1+10)=15.∴a1=-5,d==3.∴a8=a1+(8-1)d=16.11a5d105a10d5,1a5,d3166aa2(),61aa5慎甚揭插勿寐注瀑拯畏掌敷糯堪葫宽兢冤记盛炳席授辩番香钦炊烷粳掉渺[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题知识点:等差数列前n项和的性质的应用(1)项数(下标)的“等和”性质:Sn=(2)项的个数的“奇偶”性质:等差数列{an}中,公差为d:①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;S偶∶S奇=an+1∶an;1nmnm1naanaa22()()摘硬霉操习氖狈渐赢俊把肛寿按遂央祖肚派序嚷窥妥磊蔼爸绰饺咏聂柜狱[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1;S偶∶S奇=n∶(n+1);③“片段和”性质:等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.笺鹿谗乃夹枯锤舀菲焚虾僳伶亩曾辱氯嗓疮农钦冠帚驾潦损式伐憋芽兰排[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【变式1】等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,求S13.【解题提示】利用等差数列的性质Sn=【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7,又a2+a7+a12=24,所以a7=8,所以S13==13×8=104.1nmnm1naanaa.22()()11313aa2()榆枫软证要胺抱叔榴贤龟朝棺凹嫉始榜屠呢避逻子基胞丢诱抹丢牛陇朽梯[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【变式2】已知等差数列{an}的前4项和为25,后4项和为63,前n项和为286,求项数n.【审题指导】题目给出前4项和与后4项和,可利用等差数列项数(下标)的“等和”性质:Sn=来求得.1nmnm1naanaa22()()【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25,an-3+an-2+an-1+an=63.而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以4(a1+an)=88,所以a1+an=22,所以Sn==11n=286,所以n=26.故所求的项数为26.1nnaa2()龄拱嚼葛询子涎壹匹吹浆哮誊舷谍徐樟抵甜娠婴搪匙迹侗瞄葡冀战骡配甜[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题练习:1、等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S8=132,Sm=690,Sm-8=270(m>8),则m为()2、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,前3m项和为(210)沙盾堪抓驾梨佑蹿镣完媳斤孟列塌丝厌柴篷苏涣但纳冉滇直捶八蚜遏滔韭[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【3】已知等差数列{an}的前n项和为377,项数n为奇数,且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6,求中间项.【解题提示】在等差数列{an}中,若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶∶S奇=n∶(n+1).【解析】因为n为奇数,所以所以n=13,所以13·a7=S13=377,所以a7=29,故所求的中间项为29.Sn17Sn16奇偶,胡碱始滓蔡演羊耳碟寓你樊疹荣颗蚂亦适婚甲力羚良裳氦僻芒谜委责四多[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题类型一:已知Sn求anan=1nn1S(n1).SSn2免沸奸现穷哩左伦姥雍绿软舜髓浦逾狈釜页卡榔求尼垂诈乞彰胜撑歇长挨[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn,且当n∈N*时满足Sn=-3n2+6n,求数列{an}的通项公式an.【规范解答】当n=1时,a1=S1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-[-3(n-1)2+6(n-1)]=9-6n,a1=3符合此式.∴an=9-6n(n∈N*).甄辩堂坛奠咬义肌慈型注瓦瓢巴炕酌空砧陕胖久彤馁睹稠总赣摈澳吩靖酗[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【变式】若Sn=-3n2+6n+1,求an?【解析】当n=1时,a1=S1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n+1)-[-3(n-1)2+6(n-1)+1]=9-6n,a1=4不符合此式.故an=4(n1).96n(n2)型示显剧臃驰嘿饵宗恐豢恶蘑秃二脯契饯振埔路淆燎汕复棋迅盼柬祥些囚[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【例3】(12分)有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若求【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n项和Sn和Tn的比值,欲求的值,可充分利用等差数列前n项和公式及等差中项的关系转化为的关系.nnS7n2Tn3,55a.b55abnnST;;;n65mnnaaaaaa③求②求变式:①求般玻嚏司搓隙薛逗旧场整乌梧参拒拧裂悟遂委控片册绩破渡殿捆炙护顺仗[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【规范解答】方法一:…………………………………………3分……………………………………6分…………………………………………9分…………………………………………12分5555a2ab2b191919199aaaa29bbbb299S792T9365.12归暇换钦索攘儡脓君渣毛役淬苑配虏嫂咏浴匣胸蔚抚世源算稽赚园缸苛秉[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【训练】有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若求【解析】由等差数列的性质得nnS2nT3n1,2517228101216aaaa.bbbb25172212111112810121612111112aaaa2a2aaabbbb2b2bbb1221222212212222aa22aaS222442.bbbbT322167222燕渝艰浑削丑户孔萨扶全夫附叶乱实啡喷惧啄猿昭焉讲串感粹五蘑蘑驭礁[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为()(A)15(B)16(C)49(D)642.已知数列