矩阵分析ppt课件

第7章矩阵分析MATLAB为工程技术人员、科研工作者提供了方便、强大的数值计算功能，这也是MATLAB得以流行的重要因素。用户在利用MATLAB解决实际问题时，首先将该问题转化为数学问题，然后将相应的数学求解过程翻译为MATLAB程序代码。同其他计算机语言（如C、C++、Java等）不同的是，MATLAB语言是一种边解释边执行的程序语言，其风格更像是一种数学语言。因此用户利用MATLAB解决问题并不需要了解很多编程方面的知识，而只需懂得基本的MATLAB语法。另外，MATLAB内置了大量的数值计算函数，这些函数封装了常用的数值计算功能。利用这些数值计算函数，用户能够从烦琐的编程工作中解放出来，集中精力解决问题。本书将MATLAB数值计算分为四章分别讨论，本章及下面的两章（8、9）分别介绍矩阵分析、函数分析和数据分析等初等数值计算内容，第10章将讨论数值计算的一些高级话题。本章的矩阵分析主要讨论以下问题：矩阵基本运算，如加、减、乘、除四则运算等；矩阵特征量，如行列式、条件数、范数、秩等；矩阵分解；矩阵函数；稀疏矩阵。7.1MATLAB数值计算中的矩阵矩阵分析无论是在数学理论还是实际工程问题中都具有重要的应用，例如，线性方程组的解与矩阵除法、矩阵的特征量（如行列式、逆、条件数、秩等）、矩阵分解相关；二次型（，为特征矩阵）的最大（小）值为对应特征矩阵的最大（小）特征值；线性系统的稳定性与系统特征矩阵的谱半径有关。MATLAB的最初雏形是为了解决大规模矩阵运算而编写的一系列函数模块。矩阵作为MATLAB的基本数据结构，一直是MATLAB的核心，是MATLAB基本的运算单元，其大部分的内建函数也都支持矩阵作为输入变量，用户在编写自用程序时也应当尽量遵循这一约定。7.1.1MATLAB中的矩阵前面的章节已对MATLAB中矩阵的概念、创建、操作等进行了详细的介绍，矩阵作为MATLAB数据组织、运算的基本单元，为MATLAB带来了众多的优势：高效，利用矩阵封装多重循环运算，通过其内置的程序优化提高代码运行效率；简洁，矩阵对多重循环的封装使代码更加简洁、方便；安全，矩阵运算内置了相关的出错处理，代码更加安全，同时除错也更加方便。另外，MATLAB的大部分内建函数都支持矩阵作为输入变量，相应地以矩阵作为输出变量，这使得程序结构更加清晰，代码编写也更加简便。7.1.2求解线性代数方程信号处理、自动控制等工程领域的众多问题可以归结为下面的数学问题：已知，则有，称为系数矩阵，为值向量，为解向量。令，为扩展系数矩阵，的解与的秩、的行列式、逆、条件数等有关，这些内容将在下面的各节中详细展开。1111221111121211222222122212112212,,,,。NNNNNNNMMMNNMMMMNaxaxaxbaaaaxaxaxbaaaxxxAaxaxaabaaa求令1122,NNxbxbxbxb7.1.3最大（小）值考虑信号估计理论中的一个经典问题：在（恒量）的条件下，求向量使最大，其中为实对称矩阵。可以证明，当为最大特征值对应的特征向量时，达到最大值，为的最大特征值；相反，当为最小特征值对应的特征向量时，达到最小值，为的最小特征值。实际上，矩阵的特征值和特征向量在许多工程应用中都具有很重要的应用，例如线性系统的稳定性取决于系统特征矩阵的谱半径等。7.2矩阵基本运算矩阵是MATLAB数据组织和运算的基本单元，矩阵的加、减、乘、除四则运算、幂运算、比较运算和逻辑运算等代数运算是MATLAB数值计算最基础的部分。这里可以粗略地将矩阵运算分为两类，即普通数值运算（四则运算、幂运算）和关系运算（比较运算、逻辑运算），最后本节特别介绍了矩阵的按位运算。为了描述的方便，这里对本节所涉及相关数学符号稍作统一，矩阵用大写字母表示，如、、；矩阵的第行、第列元素用带下标的小写字母表示，如、、；表示的转置矩阵；表示的Hermite转置；为方阵的行列式；为方阵的逆矩阵；为方阵的范数。7.2.1矩阵的加、减矩阵的加、减运算定义为相应元素的加减。对矩阵、，其和（差），C也为矩阵，且。矩阵的加、减运算要求参与运算的矩阵具有相同的大小，或者其中之一为标量，例如矩阵A与标量的和（差），为矩阵，且。CABMNmnmnmncabMNxCAxCMNmnmncax7.2.2矩阵乘法7.2.3矩阵除法矩阵除法是乘法的逆运算，MATLAB也定义了两类矩阵除法。第一类是矩阵的线性代数除法，对应于矩阵线性代数乘法的逆运算。矩阵线性代数除法又有两种算子，即右除算子和左除算子，如表所示。ABC/ACBABC\BAC矩阵线性代数除法，则，则运算符名称说明/右除\左除7.2.4矩阵的幂矩阵的幂与矩阵乘法具有紧密的联系，MATLAB也定义了两类矩阵幂运算。第一类与矩阵线性代数乘法相对应，由表示，其中为阶方阵，。^CAnnCAAA7.2.5矩阵按位运算按位运算是MATLAB为矩阵设计的一种简洁、高效、安全的运算模式，实际上是对多重循环的高效封装，从而提高代码执行的高效和安全程度。前面介绍的矩阵加减、按位乘除、按位幂都是按位运算符。按位运算符一般有一个（.）作为前导符，.*./.\.矩阵的按位运算符+加-减按位乘按位右除按位左除按位幂7.2.6关系运算注意到例7.10中的向量化代码（Mean=mean(V(V=1))），该段代码涉及三种按位运算：比较运算、逻辑运算和逻辑下标。这三种运算为代码向量化提供了强大的引擎。表列出了MATLAB支持的比较运算符和逻辑运算符。比较运算算子符号说明大于小于=不小于=不大于==等于~=不等于7.3矩阵特征量线性代数中有一些矩阵特征量用于刻画矩阵某方面的性质，如行列式、范数、条件数、秩等。这里从求解7.1.2给出的线性方程组出发讨论矩阵相关的特征量，包括矩阵的行列式、秩、范数、条件数、范数以及矩阵的逆。7.3.1矩阵的行列式关于矩阵行列式的概念，这里不作赘述，如有疑问，请参考任何一本线性代数方面的书籍。如阶矩阵的行列式不等于0，即时，称矩阵非奇异，否则奇异。如果限定线性方程组的系数矩阵为方阵，当非奇异，则线性方程有惟一解。对N阶方阵，MATLAB调用函数得到矩阵行列式，下面是求阶方阵行列式的例子。7.3.2矩阵的逆若系数矩阵非奇异，即，则线性方程组有惟一解，该惟一解为，其中为的逆矩阵。对非奇异矩阵，其逆矩阵是满足以下条件的矩阵：（I为单位矩阵）。MATLAB调用函数inv(A)求的逆矩阵，以下是逆矩阵应用的一些例子，这些例子也验证了前面给出的关于逆矩阵的性质。7.3.3矩阵的范数如果将矩阵看作一个线性变换系统，则矩阵范数从整体上描述了系统的放大作用，矩阵范数的定义如下：。其中为列向量，为向量的范数。对矩阵，常用的范数有以下几种。1-范数，，也称为列和范数。2-范数，，为A的奇异值。范数，，也称为行和范数。F-范数，。MATLAB利用函数norm计算范数，函数norm的调用格式为：norm(A,opt)7.3.4矩阵的条件数7.3.2小节中提到，当线性方程组系数矩阵非奇异时，线性方程有唯一惟一解，且该解为。那么一个很容易想到的问题就是：当系数矩阵接近奇异时，例如很小，利用求解线性方程组会有什么样的问题？这里暂且撇开上面提出的问题，而首先考虑以下问题：即如何衡量是大还是小的问题。对这一问题，显然需要确定一个参考数量以确定是大还是小，这一参考数量称为矩阵的范数，用表示。当成立时，则认为小，矩阵是奇异的。7.3.5矩阵的秩对7.1.2节给出的线性方程组求解问题。根据、的不同取值，线性方程组可以分为以下三类：，为超定方程；，为恰定方程；，为欠定方程。MNMNMN7.4矩阵分解矩阵分解是矩阵理论的重要内容，在信号处理、自动控制等众多领域中有着非常广泛的应用。矩阵分解通过将复杂矩阵表示成形式简单或具有良好数学性质（统称为简单矩阵）的组合，以便于理论分析或数值计算。通常矩阵分解将复杂矩阵分解为几个简单矩阵的乘积。在很多ǖ烫岢隽烁髦志卣蠓纸夥椒ǎEVD）、Schur分解、Cholesky分解、LU分解、QR分解、SVD分解等，7.4.1特征分解7.4.2Schur分解7.4.3Cholesky分解对任意正定矩阵的Cholesky分解（柯利分解）。Cholesky分解在理论分析、数值计算等方面有重要应用。MATLAB提供函数chol和cholinc用于正定矩阵的Cholesky分解。Chol常用的调用格式有以下两种：R=chol(X)[R,p]=chol(X)如果X为正定矩阵，则返回上三角矩阵R，此时p=0，表示函数调用成功；如果X非正定，则前一种调用会产生错误信息，后一种调用不会产生错误，而是将p设为正整数，用户可以通过查询p的状态检查Cholesky分解是否成功，也可以依此判断X的正定性。7.4.4LU分解7.4.5QR分解7.4.6SVD分解7.5矩阵函数矩阵函数是矩阵理论的重要概念，在信号处理、系统控制等领域有着重要的应用。如果将矩阵看作一个线性系统，那么矩阵函数可以看作系统的级联、合成。利用矩阵函数的概念可以得到很多工程应用中有用的工具。7.5.1矩阵函数的概念7.5.2常用矩阵函数7.5.3自定义矩阵函数用户除了可以使用MATLAB内建的矩阵函数之外，还可以利用MATLAB提供的funm函数，创建自定义的矩阵函数。funm函数以矩阵和自定义函数句柄作为输入参数，其一般调用格式为：F=funm(A,fun)F=funm(A,fun,options)[F,exitflag]=funm(...)其中fun为函数句柄；option用于计算过程的控制、结果显示等，这里不做具体介绍；exitflag保存了函数结束的信息，若exitflag=0，则函数计算成功；若exitflag=1，则表明计算过程不收敛，但结果也有可能是正确的。7.6稀疏矩阵实际工程中的数据处理任务面临大容量数据的挑战，当涉及大型矩阵的数值计算时，一个重要的问题是存储和执行效率的问题。稀疏矩阵的概念，正是为了解决这一问题而提出的。从数学性质上看，稀疏矩阵与一般的矩阵没有差别，但在数据存储和执行算法上有着很大的不同。本节在讲述稀疏矩阵时，经常与全矩阵作对比，使读者对稀疏矩阵的概念和使用方法有一个更加透彻的理解。本节将一般的矩阵称为全矩阵（FullMatrix），以区别于稀疏矩阵。7.6.1稀疏矩阵与全矩阵稀疏矩阵是这样一类矩阵，其元素仅有少数不为0，而大量的元素为0。稀疏矩阵的这种性质使得MATLAB可以对其采用不同于全矩阵的存储方式和执行算法以提高效率。MATLAB利用二维数组存储全矩阵，对零元、非零元不作区分，统一采用浮点数；但在存储稀疏矩阵时只存储非零元及其对应的索引值（整型）。显然，这种存储方式能够大大提高稀疏矩阵的存储效率，看下面的例子。7.6.2创建稀疏矩阵除了通过将全矩阵转换为稀疏矩阵外，MATLAB还提供了一系列函数用于创建稀疏矩阵，如表所示。稀疏矩阵创建函数函数名说明sparse生成一般的稀疏矩阵speye生成单位稀疏矩阵sprand生成均匀分布随机稀疏矩阵sprandn生成正态分布随机稀疏矩阵sprandsym生成对称随机稀疏矩阵spdiags生成对角稀疏矩阵7.6.3稀疏矩阵操作一般地，能用于全矩阵的操作函数对稀疏矩阵同样有效，并且具有相似的操作规则，现总结如下：下标寻访赋值函数；用于矩阵拼接的函数，如cat，horzcat、vertcat、repmat，若输入参数中有一个为稀疏矩阵，则返回结果为稀疏矩阵；矩阵变形函数，如ctranspose、flipdim、fliplr、flipud、reshape、rot90、transpose，这些函数都是单输入函数，若输入为稀疏矩阵，则返回结果也为稀疏矩阵；