矩阵分析课件(2-1)

第二章矩阵与矩阵的Jordan标准形-2.1--矩阵及标准形一、矩阵的基本概念111212212212()(1,2,...,;1,2,...,)()()()...()...()()().........()()...(2).1.1ijijnnmmmnaimjnFamnaaaaaaAaaa设　　为数域上关于文字的多项式，则称以为元素的矩义：阵（定）-()()(1,2,,;1,2,,)ijmnaimjnA为矩阵或多项式矩阵；在个中次数最高的次数叫做（）的次数。---AEA例如：数字矩阵和特征矩阵都是矩阵。矩阵的加法、数乘、乘法及运算律与数字矩阵相同。-()1012.0()12(.)0ArrrArrankAr如果矩阵中有一个阶（）子式不为，而所有的阶子式（如果有的话）全为，则称的秩为，记为；零矩阵的秩定：规定为义。-1-()-()()()2.1.3()()2.1.1()()nAnBABBAEEnBAA一个阶矩阵称为可逆的，如果有一个阶矩阵满足：（）这里是阶单位矩阵，称为的逆矩阵，记为定义（：）。()()()()()()1()()()ABABEABABA证明必要性：设可逆，即存在使因此，这说明与都是零次多项式，从而是一非零常数。-()det(21).1.nAA一个阶矩阵可定理逆当且仅当是一个非：零常数。-1det()()()11()()()()1()()()dAAAAAAAEddAAAd充分性：设是一非零常数，为的伴随矩阵，则因为（）（）故可逆且3220;2.1.12满秩未必可逆，例如：A可逆必满秩（由定理可证），例如：A。-12()3()()2.1.4C下列三种变换称为矩阵的初等变换：（）矩阵的任意两行（列）互换位置；（）非零常数乘矩阵的某一行列；（）把矩阵的某一行列的（）倍：加到另一行列上，（）是一个的多项式。定义-(,),(()),(,())PijPicPij对单位矩阵施行上述三种变换一次所得到的三种矩阵（）称为初等矩阵。101101(,)iPijj——行——行11(())Picic——行1111(,())()jPijj——行——行-1-1-11(,)(,)(())(())(,())(,(-)).PijPijPicPicPijPij验证可知：，，（）（）-2.1.2mnAmAAnA对一个的矩阵（）作一次行的初等变换相当于用一个相应的阶初等矩阵左乘（）；对（）作一次列的初等变换相当于用一个相应的阶初等矩阵右乘（）。定理：与线性代数中的证明类似，可以证明：()()()()()()2.1.5ABABAB如果可经有限次初等变换变成，则称与等价，记为。定义()()()()()()()2.1.3()ABPBPAQ与等价当且仅当存在可逆的、Q使得定理：。-易证：矩阵的等价关系具有自反性、对称性、传递性。-smith二、矩阵的标准形11111111()()()0()[-()]1,1iiAaaaagrrraAgii（）的第一列中有元素（）不能被（）整除，即（）（），且的次数比（）的低，将（）的第一行乘后加到第行，再交换第行证（）当1111-()()00AaAABa设矩阵的左上角元素，且（）中至少有一个元素不能被它整除，那么一定存在着与（）等价的矩阵（），它的左上角元素不为且次数比（）的次数低。引理111(2)()(1)iAaa的第一行中有元素（）不能被（）整除，则与类似处理。11111(3)()(1,1)()[]-1ijiAaijaaaAii在中有元素（）不被（）整除,设（）（）（）.在的第一行乘（）后加到第行，再将第行的（）倍加到第一行上，即：11()........................rBa得：（）（）1111........................jiijaaAaa（）（）（）（）（）11111...-............0......-...............jjijijjaaaaaa（）（）（）（）（）（）（）（）1111..................0...-.........jijjaaaa（）（）（）（）（）1111111111-[1]-||2jjijjijjijaaaaaaaaaa由于（）（）（）（）（）（）（），这个元素不能被（）整除。否则，（）（），（）（），矛盾.那么上面最后一个矩阵就是情形（），得证。11-()()...()()2.1.30...01,()1()|()12.1,2...-1.4riiinAddArdddir任意一个非零的阶矩阵都等价于一个对角矩阵，即　　　　　　　　（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中是首系为的多项式且，（。定理）1112221()()()()()0()()BbBBbbb如果中至少有一个元素不能被整除，由引理则存在与等价的，其左上角元素且的次数比的次数低；11()0.()aA证明不妨设否则总可以经过行列调整，使得的左上角元素不为零。1111111()()()()()0()()AaABbba如果中至少有一个元素不能被整除，由引理知存在着与等价的，其左上角元素且的次数比的次数低；0ijsijsijssbBbbqBb令（）为（）中任一元素,且（）（）（），对（）作初等变换，将其第一行第一列除（）以外的元素全为，即2211120ssssBbabbBbbB如果（）中至少有一个元素不能被（）整除，继续上述的步骤。由于（）的次数（）的次数（）的次数，而多项式的次数是有限非负整数，因此上述过程反复有限次后，总存在着（），其左上角元素（）且（）整除（）中所有其他的元素。11()()ssssABbBbA注意到中的元素是（）的元素的组合，而（）整除（）的所有元素，所以（）整除的所有元素。11().....()............aA1()..................b.....................ssbB（）10...00...()0sbA（）1100112121().()().|(,,,,,,-).rjiiddAdddjrir　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　其中（）是首的且（）（）；11001()()()AAA如果中至少有一个元素不为，不妨设左上角元素不为，对重复的讨论过程，；最后将对角形中主对角线上元素变为首系为，因此，有-Asmith上述定理说明，任何矩阵（）都与它的标准形等价。122.1.3-()(),...,()2.1.6.rAsmithdddA称（）式中右边的对角形矩阵为（）的标准形，称，为（）的不变因子。定义ijijrrijCCij（）：表示将矩阵的第行乘上（）后加到第行上；（）：表示将矩阵的第列乘上（）后加到第列上。引入符号：iiriCi：表示矩阵的第行；：表示矩阵的第列；(),iijjrCrCij（或）或：表示互换矩阵的第两行（或两列）；()iiCrCCiC或：表示矩阵的第行（或列）乘常数；2.1.4Asmith前面引理及定理的证明给出了用初等变换（）的标准形的方法。211..例212..例213..例214..例smith三、标准形的唯一性12()()...().rArArDDD可见，若（）的秩为，那么（）共有个行列式因子、-,1,1()2.1.7kArKKrAKAKDAK设矩阵（）的秩为对任何正整数，（）必有非零的阶子式。称（）的所有阶子式的首系为的最大公因式为（）的阶行列式因子。定义.kkkkABDAKDBKDD证：对（）作一次初等行变换后变为（），（）为（）的阶行列式因子，　　（）为（）的阶行列式因子，来证（）（）。2.1.5ABAB若（）（），那么（）与（）的秩相等,且有相同的各阶行列式因子。定理.A分析：只证明对（）作一次初等变换，其秩和行列式因子不变。(1)ijrrAB（）（）：kkBKAKAKDAKDBK这时，（）的每一个阶子式或者等于（）的某个阶子式，或者与（）的某个阶子式相差一个符号，因此，由（）整除（）的所有阶子式，得（）整除（）的所有阶子式，|kkkkDDDD又由初等变换是可逆的知（）（），故有（）（）。|kkDD（）（）。|kkkkDDDD又由初等变换的可逆性知（）（），故有（）（）。(2)icrAB（）（）：kBKAKAKCDBK这时，（）的每一个阶子式或者等于（）的某个阶子式，或者是（）的某个阶子式的倍，因此（）整除（）的所有阶子式。|kkDD（）（）。()(3)jirrAB（）（）：对列变换，可以完全类似地讨论。|kkkkkBAAADBDDDD（）中包含第ｉ行但不含第j行的Ｋ阶子式，按ｉ行分成两部分之和，一部分恰是（）的一个Ｋ阶子式，另一部分是（）的另一个Ｋ阶子式的（）倍，即是（）的两个Ｋ阶子式的组合，因此（）整除（）的所有Ｋ阶子式，当然（）（），又由初等变换的可逆性得（）（）。kkABADD　设（）的秩为ｒ，（）的秩为ｒ，（）至少有一个ｒ阶子式不为０，（）０，（）０，ｒｒ；同理,ｒｒ.1()...()0...0rddAA设　　　　　（）为（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　12()()()......()kkDddd　112.1.5()......()()......()rrsmithAddDD的标准形,那么由定理知（）的不变因子与行列式因子有关系：-2.1.6smith矩阵的标准形是唯一的。定理：21121-1()()()(),()()()(2.1.5)()rrDdDdDDdrD因此：，　　AAAsmithA可见，（）的不变因子与行列式因子都是由（）本身确定的。因而（）的准形也是由（）唯一确定，故有：2.1.7ABKK（）（）当且仅当对任何的，它们的阶行列式因子相同；当且仅当它们的不变因子相同。定理：Asmith因此可得求（）标准形的方法:(1)A初等变换法将（）变换为标准形(2)行列式因子法215P812.1.4Smi.th.用行列式因子法求例中例的标准形。1AAE（）可逆当且仅当（）。推论：10()1()|()12...-1()1()11,2...nKKKKAdDDDKnDdKn证：（）设（）。则，　　　又　　（，）故，　　（）AE（）；562.1.310AEPPQPAQEPAQAdA（）设（），则由定理知存在可逆的（），（）使（）（）（），（）（）（）（）是一个非常数，故（）可逆。1证：由推论及初等变换与初等矩阵的关系易证。2AA