高三数学归纳法复习

(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。【归纳奠基】初始值是使命题成立的最小的值【归纳递推】弄清增加的项.用上假设数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:(3）由（1）、（2）得出结论.点题1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；5）用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。看清k到k＋1的变化（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！这就是说，当n=k+1时,命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1223(1)1nnNnnn没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明①当n=1时,左边=,212111)1(1321211kkkk②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即此时，原等式成立。那么n=k+1时,由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.11==1+12右边证明①当n=1时,左边=,21211*111(2)()1223(1)1nnNnnn1)1(1321211kkkk11111223(1)(1)(2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk这才是数学归纳法②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即21111右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.引申练习某恒等式的左边=在用数学归纳法证明时,第一步验证n=1时nn211214131211211-第二步假设n=k时,左边=kk211214131211n=k+1时左边=左边=)1(211)1(21211214131211kkkk由k到k+1时,左边增加的项是)1(211)1(21kk(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）：练习(1)用数学归纳法证:D;)1(21)(kA;221121)(kkB;11221)(kkC.11221121)(kkkD2413212111nnn(2)用数学归纳法证:(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（）：nn1214131211Ａ.１项Ｂ.项Ｄ.项Ｃ.项12kk212kＣ1111(2)()(*),1232fnnNnnnn设那么(1)()_____fkfk等于111111.;.;.;..212221222122ABCDkkkkkk解:1111(1)232122fkkkkk11111(1)()212212122fkfkkkkkk.D练习:（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,由k到k+1左边需添加的项是________解:当n=k时,左边=1+2+3+…+(2k+1)当n=k+1时,左边=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+[2(k+1)+1](2k+2)+(2k+3)111()122fkkkk练习、用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝1(1)(2)3nnn从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。Nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×33(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.练习1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.证明中需要注意的问题练习2:用数学归纳法证明3nn2.此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3kk2成立的基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k≥2.故在证明的第一步中,初始值应取1和2两个值.2)1()12(3)12(33)1(32222221kkkkkkkkkk(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.1.已知:,则等于()A:B:C:D:131...2111)(nnnnf)1(kf1)1(31)(Kkf231)(Kkf1111()3233341fkKKKK11431)(KKkfC练习：例2:是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.222212nan+n++…+=1335(2n-1)(2n+1)bn+2点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得.41{,231013{bababa以下用数学归纳法证明:).(24)12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(2)假设当n=k时结论正确,即:222212kk+k++…+=.1335(2k-1)(2k+1)4k+2则当n=k+1时,222222222212k(k+1)++…++1335(2k1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)k+k(k+1)k(k+1)(2k+3)+2(k+1)=+=4k+2(2k+1)(2k+3)2(2k+1)(2k+3)(k+1)(2k+3k+2k+2)(k+1)(2k+1)(k+2)==2(2k+1)(2k+3)2(2k+1)(2k+3)k+3k+2(k+1)+(k+1)==4k+64(k+.1)+2故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.例3用数学归纳法证明x2n-y2n能被x+y整除类型二:整除问题那么x2(k+1)-y2(k+1)(2)假设当n=k(k∈N﹡)时,证明(1)当n=1时,=x2x2k因为x2k-y2k与x2-y2都能被x+y整除,根据(1)和(2),可知命题对任何n∈N﹡都成立x2-y2能被x+y整除=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)所以x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)也能被x+y整除.=x2x2k-y2y2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k即n=k+1时命题成立-x2y2k+x2y2kx2-y2=(x+y)(x-y),x2k-y2k能被x+y整除【互动探究】3．求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，显然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立．用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为：f(n)＝12n(n－3)(n≥3)．[证明]∵三角形没有对角线，∴n＝3时，f(3)＝0，命题成立．假设n＝k(k≥3)时，命题成立，即f(k)＝12k(k－3)，则当n＝k＋1时，凸k边形由原来的k个顶点变为k＋1个顶点，对角线条数增加k－1条．∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k＋1)[(k＋1)－3]∴当n＝k＋1时命题成立，∴对任何n∈N且n≥3，凸n边形对角线条数为f(n)＝12n(n－3)．例1已知数列1111,,,,,,1447710(32)(31)nn计算S1,S2,S3,S4.根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.解:111,144S2112,14477S31113,144771010S4314.10101313S11111447710(32)(31)nSnn猜想下面用数学归纳法证明(1)当n=1时,11,144左边11,3114右边所以等式成立.31nn(2)假设当n=k时等式成立,即1111,1447710(32)(31)31kkkk那么当n=k+1时,111111447710(32)(31)[3(1)2][3(1)1]kkkk131(31)(34)kkkk2341(31)(34)kkkk(31)(1)(31)(34)kkkk134kk1.3(1)1kk所以,当n=k+1时,等式也成立.综合(1),(2),对于任意n∈N*,等式都成立,即猜想得证.例4、已知x1，且x0，nN，n2．求证：(1+x)n1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即(1+x)k1+kx当n=k+1时，因为x1，所以1+x0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+11+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明：（1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x0，∴1+2x+x21+2x=右∴n=1时不等式成立例5、已知求证:.,131211)(nnf)1(22)2(nnfn证:(1)当n=2时,,不等式成立.22212124131211)4()2(2ff(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即.22)2(kfk则当n=k+1时,有:.22)1(212221222212211212221221121)2()2(1111kkkkffkkkkkkkkkk即当n=k+1时,不等式成立.由(1),(2)所证不等式对一切都成立.2,