高三数学总复习――第三章三角函数、解三角形

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识能否忆起]1．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.2．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[小题能否全取]1．－870°的终边在第几象限()A．一B．二C．三D．四解析：选C因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角．2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是()A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4解析：选B∵sinα＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.3．(教材习题改编)若sinα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C由sinα0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tanα0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．4．若点P在2π3角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于________．解析：因tan2π3＝－3＝－y，∴y＝3.答案：35．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析：弧长l＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l＝α·r得r＝lα＝3π34π＝4，面积S＝12lr＝6π.答案：46π1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.角的集合表示及象限角的判定典题导入[例1]已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M＝xx＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4×180°＋45°，k∈Z，判断两集合的关系．[自主解答](1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.由题悟法1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．以题试法1．(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限．解析：(1)－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．(2)由已知π2＋2kπαπ＋2kπ(k∈Z)，则－π－2kπ－α－π2－2kπ(k∈Z)，即－π＋2kπ－α－π2＋2kπ(k∈Z)，故2kππ－απ2＋2kπ(k∈Z)，所以π－α是第一象限角．答案：(1)C(2)一三角函数的定义典题导入[例2](1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t0)，则tanα的最小值为()A．1B．2C.12D.2(2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6[自主解答](1)根据已知条件得tanα＝t2＋1t＝t＋1t≥2，当且仅当t＝1时，tanα取得最小值2.(2)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin2π3＝32，故α＝2kπ－π6(k∈Z)，所以α的最小正值为11π6.[答案](1)B(2)D由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．以题试法2．(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点Px，32，则tanα＝()A.3B．±3C.33D．±33(2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.114C．－4D．4解析：(1)选B由|OP|2＝x2＋34＝1，得x＝±12，tanα＝±3.(2)选C由题意可知，cosα＝mm2＋9＝－45，又m0，解得m＝－4.扇形的弧长及面积公式典题导入[例3](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？[自主解答](1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝1012θ·r2＝4⇒r＝1，θ＝8(舍)，r＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，Smax＝100.所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R，则圆内接正方形的对角线长为2R，∴正方形边长为2R，∴圆心角的弧度数是2RR＝2.答案：2由题悟法1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2．记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．以题试法3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？解：设扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，根据已知条件12lR＝S扇，则扇形的周长为：l＋2R＝2S扇R＋2R≥4S扇，当且仅当2S扇R＝2R，即R＝S扇时等号成立，此时l＝2S扇，α＝lR＝2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．[典例]2011·江西高考已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P4，y是角θ终边上一点，且sinθ＝255，则y＝.[尝试解题]r＝x2＋y2＝16＋y2，且sinθ＝－255，所以sinθ＝yr＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.[答案]－8——————[易错提醒]———————————————————————————1.误认为点P在单位圆上，而直接利用三角函数定义，从而得出错误结果.2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论.——————————————————————————————————————针对训练已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B．－32C.12D.32解析：选C由点P(－8m，－6sin30°)在角α的终边上且cosα＝－45，知角α的终边在第三象限，则m0，又cosα＝－8m－8m2＋9＝－45，所以m＝12.1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.π3B.π6C．－π3D．－π6解析：选C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4B．1C．4D．8解析：选A设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得l＋2r＝6，12lr＝2，解得l＝4r＝1或l＝2，r＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.3．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π3，则sinα＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：选D因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2kπ＋5π6(k∈Z)，即得sinα＝12.4．设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2＜0，知θ2为第二象限角．5．(2012·宜春模拟)给出下列各函数值：①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)；④sin7π10cosπtan17π9，其中符号为负的是()A．①B．②C．③D．④解析：选Csin(－1000°)＝sin80°0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°0；tan(－10)＝tan(3π－10)0；sin7π10cosπtan17π9＝－sin7π10tan17π9，sin7π100，tan17π90，∴原式0.6．已知sinθ－cosθ1，则角θ的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sinθ－cosθ)21,1－2sinθcosθ1，sinθcosθ0，且sinθcosθ，因此sinθ0cosθ，所以角θ的终边在第二象限．7．在直角坐标系中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为________