高三数学立体几何复习测试题含答案

试卷第1页，总9页高三数学立体几何复习一、填空题1.分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为．．．．①平行②相交③异面④垂直【答案】②【解析】两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交2.已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为【答案】553【解析】设底面半径为r,62r,3r,设圆锥的高为h，那么553822h，那么圆锥的体积55355931312hrV，故填：553.3.已知平面//平面，P且P，试过点P的直线m与，分别交于A，C，过点P的直线n与，分别交于BD，且6PA，9AC，8PD，则BD的长为___________.【答案】245或24【解析】第一种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以//ABCD，设BDx，根据平行线分线段成比例，有6824,95xxx第二种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以//ABCD，设BDx，根据平行线分线段成比例，有68,2438Xx.4.半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________．【答案】1：2【解析】2224hRr，圆柱的侧面积2224244222hrhrhrR，当且仅当2hr时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为222:41:2RR5.如图所示，GNMH、、、分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GHMN、是异面直线的图形有____________（填上所有正确答案的序号）．【答案】②④【解析】由题意得，可知（1）中，直线//GHMN；图（2）中，,,GHN三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接,//MGGMHN，因此GH与MNG，所以直线GH与MN共面；图（4）中，,,GMN共面，但H面GHN，所以直线GH与MNAPCDBBPDAC试卷第2页，总9页异面．6.已知nm,为直线，,为空间的两个平面，给出下列命题：①//,nnmm；②nmnm//,//；③//,mm；④nmnm//,．其中的正确命题为．【答案】③④【解析】关于①,也会有n的结论,因此不正确；关于②,也会有nm,异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.7.设,ab是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列四个命题①若,,abab则，②若,aba则//b，③若,a，则//a④若//,aa，则其中正确的命题序号是.【答案】①④【解析】①ab，不妨设,ab相交（如异面平移到相交位置），确定一个平面，设平面与平面的交线为c，则由b，得bc，从而//ac，于是有c，所以，①正确；②若,aba，b可能在内，②错；③若,a，a可能在内，③错；④若//a，则由线面平行的性质定理，在内有直线b与a平行，又a，则b，从而，④正确．故答案为①④．8.已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为26，则球O的表面积为__________．【答案】4【解析】设ABC的中心为1O，由题意得113212;24633ABCABCSOOSOO,所以球O的半径R满足2221321()1333ROO，球O的表面积为244.R9.如图所示,在直三棱柱111ABCABC中,11,,ABBCCCABBCE为1CC的中点,则三棱锥1CABE的体积是．【答案】112试卷第3页，总9页【解析】因为E是1CC中点，所以1112CABECABCVV1111(11)123212．10.如图所示，在直三棱柱111CBAABC中，1,2,901BCACAAACB,则异面直线BA1与AC所成角的余弦值是.【答案】66【解析】由于11//ACAC，所以11BAC（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在11BAC中,16AB,51,111BCCA,116156cos6261BAC.11.如图，在棱长为1的正方体1111-ABCDABCD中，,MN分别是1,BBBC的中点，则图中阴影部分在平面11ADAD上的投影的面积为．【答案】81【解析】图中点M在平面的投影是1AA的中点，点N在平面的投影是AD的中点，点D的投影还是点D,连接三点的三角形的面积是81212121，故填：81.12.如图,正方体1111ABCDABCD中,2AB,点E为AD的中点,点F在CD上,若//EF平面1ABC,则EF________.【答案】2EF【解析】根据题意，因为//EF平面1ABC，所以ACEF//.又因为点E是AD中点，所以点F是CD中点.因为在DEFRt中，1DFDE，故.2EF13.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为1AB的中点，在面ABCD中取一点F，使1EFFC最小，则最小值为__________．【答案】142【解析】如图，将正方体1111ABCDABCD关于面ABCD对称，则1EC就是所ABCDEF1A1B1C1DNED1C1CB1C1A1B1D1DA1BA试卷第4页，总9页求的最小值，2221131141242ECENNC．14.点M是棱长为32的正方体1111ABCDABCD的内切球O球面上的动点，点N为11BC上一点，112,NBNCDMBN，则动点M的轨迹的长度为__________．【答案】3105【解析】因为DMBN，所以M在过D且垂直于BN的平面上，如下图（1），取112BSSB，112ATTA，则BN平面DTSC，所以M在一个圆周上，如图下图（2），正方体的中心O到该平面的距离即为1OF，在直角三角形1OFC中，1111sin3sinOFOCOCFOCF，而11113tantan14213OCFBCS，故15sin5OCF，1355OF，M所在的圆周的半径为2232353302510，故其轨迹的长度为3105OABDCA1B1D1C1MNSTBCB1C1O1NSF图（1）图（2）二、解答题15.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD底面ABCD.（1）证明：PABD；（2）设2PDAD，求点D到面PBC的距离.解析：（1）证明：因为60DAB，2ABAD，由余弦定理得3BDAD.从而222BDADAB，∴BDAD，又由PD底面EC1D1B1A1CDBAMN试卷第5页，总9页ABCD，BD面ABCD，可得BDPD.∴BD面PAD，PA面PAD，∴PABD.（2）法1：在平面PDB内作DEPB，垂足为E.∵PD底面ABCD，BC面ABCD，∴PDBC，由（1）知BDAD，又//BCAD，∴BCBD，又ADBDD，.∴BC平面PBD，又ADBDD∴BCDE.则DE平面PBC.由题设知，2PD，则23BD，4PB，根据DEPBPDBD，得3DE，即点D到面PBC的距离为3.法2：设点D到平面PBC的距离为d，由（1）得BDAD，∴4AB，1111343242223623PBCDPABCDABCDVVSPD，又13PBCDPBCVSd，由PD底面ABCD，BD面ABCD，DC面ABCD，,PBDPCD为Rt，∴2225PCPDCD，224PBPDCD，又2BCAD，∴PBC为Rt且12442PBCS，∴3d.16.已知直角梯形ABCD中，//ABCD，ABAD，2CD，2AD，1AB，如图1所示，将ABD沿BD折起到PBD的位置，如图2所示.（1）当平面PBD平面PBC时，求三棱锥PBCD的体积；（2）在图2中，E为PC的中点，若线段//BQCD，且//EQ平面PBD，求线段BQ的长；解析：（1）当平面PBD平面PBC时，因为PBPD，且平面PBD平面PBCPB，PD平面PBD，所以PD平面PBC，因为PC平面PBC，所以PDPC.因为在直角梯形ABCD中，//ABCD，ABAD，2CD，2AD，1AB，所以3BDBC，2DP.所以222CPCDPD.又因为1BP，所以222BPCPBC，所以BPCP.所以1222PBCSPBPC.所以三棱锥PBCD的体积等于112123323DPBCPBCVSPD.（2）取PD的中点F，连接EF，BF，如上图所示.又因为E为PC的中点，所以//EFCD，且12EFCD.又因为//BQCD，所以//EFBQ.所以B，F，E，Q共面.因为//EQ平面PBD，EQ平面BFEQ，且平面BFEQ平面试卷第6页，总9页PBDBF，所以//EQFB.又因为//EFBQ，所以四边形BFEQ是平行四边形.所以112BQEFCD.17.如图几何体中，矩形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且2BCDE，//DEBC，BDAD，M为AB的中点.（1）证明：//EM平面ACDF；（2）证明：BD平面ACDF.解析：（1）法1：延长BE交CD与G，连接AG，∵,EM为中点，∴//EMAG，EM平面AFDC，AG平面AFDC，∴//EM面ACDF．法2：如图，取BC的中点N，连接MN、EN.在ABC中，M为AB的中点，N为BC的中点，∴//MNAC，又因为//DEBC，且12DEBCCN，∴四边形CDEN为平行四边形，∴//ENDC，又∵MNENN，ACCDC.∴平面//EMN平面ACDF，又∵EM面EMN，∴//EM面ACDF.法3：如图，取AC的中点P，连接PM，PD.在ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，∴//PMBC，且12PMBC，又∵//DEBC，12DEBC,∴//PMDE，故四边形DEMP为平行四边形，∴//MEDP，又∵DP平面ACDF，EM平面ACDF，∴//EM面ACDF．（2）∵平面ACDF平面BCDE，平面ACDF平面BCDEDC，又ACDC，∴AC平面BCDE，∴ACBD，又BDAD，BDADA，∴BD平面ACDF．18.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M为AC的中点，N为PD上一点.（1）若MN∥平面ABP，求证：N为PD的中点；（2）若平面ABP⊥平面APC，求证：PC⊥平面ABP.【解析】（1）连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，∵MN∥平面ABP，MN平面BPD，平面BPD平面ABP＝BP，∴MN∥BP，∵M为AC的中点，∴N为PD的中点.（2）在△ABP中，过点B作BE⊥AP于E，∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC＝AP，BE平面ABP，BE⊥AP∴BE⊥平面APC，又PC平面APC，∴BE⊥PC.∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又AB⊥BP，BC∩BP＝B，BC，BP平面BPC，∴AB⊥平面BPC，∴AB⊥PC，又BE⊥PC，AB平面ABP，BE平面ABP，AB∩BE＝B，∴PC⊥平面ABP19.如图,在四棱锥PABCD中，1,,2ABDCADDCABM∥是线段PA的中点.（1）求证：DM∥平面PCB；G试卷第7页，总9页