高三数学第三章导数总结

第1页共31页第三章导数目录一．本章知识结构二．学习内容与要求（一）学习目标：（二）本章知识精要（1）导数的概念（2）常见函数的导数（3）导数的运算（4）函数的单调性（5）函数的极值（6）函数的最大值与最小值三．学习方法与指导（一）学习方法点拨1．导数的概念：2．曲线的切线3．导数运算4．函数的单调性5．可导函数的极值6．函数的最大值与最小值（二）典型例题讲解1．导数的概念2．几种常见函数的导数3．函数和、差、积、商的导数4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数5．函数的单调性和极值6．函数的最大值和最小值（三）能力培养与测试参考答案四．2004年全国各地高考数学卷导数应用题型集锦第2页共31页一．本章知识结构二．学习内容与要求（一）学习目标：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。（2）熟记函数y=c(c为常数)，y=xm，y=sinx，y=cosx，y=ex，y=ax，y=lnx，y=logax的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；（3）会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；掌握函数极值的定义，了解可导函数的极值点的必要条件与充分条件，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。（二）本章知识精要（1）导数的概念：1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量x，函数y相应有增量y=f(x0+x)－f(x0)，若极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f’(x0)，或y’|0xx；2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f’(x)或y’.导数的概念导数的运算函数导数的四则运算几种常见函数的导数函数的单调性函数的极值函数的最大值与最小值实际应用复合函数的导数第3页共31页即f’(x)=y’=0limxyx=0()()limxfxxfxx。3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f’(x0)．函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－y0=f’(x0)·(x－x0)．函数y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的法线方程为y－y0＝－01'()fx(x－x0)或x＝x0.（2）常见函数的导数：(c)’=0,(c为常数)；(xm)’=mx1m；(sinx)’=cosx；(cosx)’=－sinx；(ex)’=ex；(ax)’=ax·lna；(lnx)’=1x；(ligax)’=1logaex.（3）导数的运算：1．函数的和或差的导数法则：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数的和或差，即(u±v)’＝u’±v’.2．函数的积的导教法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(uv)’＝u’v+v’u.3．函数的商的导。法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即(uv)’=2''uvvuv(v≠0)。4．复合函数的导数法则：设函数u＝g(x)在点x处有导数u’x＝g’(x)，函数f(u)在点x处的u处有导数y’u=f’(u)；则复合函数y=f[(x)]在点x处也有导数，且y’x＝y’u·u’x，也可简述为：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。（4）函数的单调性设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f’(x)0时，则函数y=f(x)为增函数；如果f’(x)0时，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f’(x)＝0，则y=f(x)为常函数.（5）函数的极值1．设函数y=f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x都有f(x)＜f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；2．如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＞f(x0)称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，极大值与极小值统称为极值。第4页共31页3．判断法则：①对于在x0处连续的函数，如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，那么f(x0)是极小值．（6）函数的最大值与最小值1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区向(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)内的极值；②将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.第5页共31页三．学习方法与指导（一）学习方法点拨1．导数的概念：设f(x)在点x=x0附近有定义，若极限000()()limxxfxfxxx存在，则称其为f(x)在点x=x0处的导数f’(x0)．可以证明这一结论与教科书上的导数定义是等价的．另外，若lim()0xagx，且存在a的邻域（α，β），当x∈(α,x0)∪(x0,β)时，有g(x)≠0，则00(())()'()lim()xafxgxfxfxgx，又若0lim()xagxx，且存在a的邻域(α，β)，当x∈(α,x0)∪(x0,β)时，有g(x)≠x0，则000[()]()'()lim()xafgxfxfxgxx.设f(x)=(),(),gxxahxxa≥那么g(a)=h(a)=A，且()()limlimxaxagxAhxABxaxa为f(x)在点x＝a处可导的充要条件，此时f’(a)＝B．由此可知，若分段函数f(x)的表达式中的g(x)、h(x)可分别看做含有a的区间(α，β)上的函数，且g(a)＝h(a)，g’(a)=h’(a)，则f(x)在点x=a处可导；且有f’(a)=＝g’(a)＝h’(a)．2．曲线的切线：设曲线S：y=f(x)，若f’(x0)存在，则S在点P(x0，f(x0)处的切线方程为l：y－f(x0)＝f’(x0)(x－x0)．可见l的方程被x0所唯一确定；若f(x)在区间(α，β)内可导，则当点x0在(α，β)内变动时，点P(x0，f(x0))在S上变动，而l“贴着”曲线S转动．所以要求具有某种性质的切线，可转化为这种性质对点x0的要求，解出x0，即可求出对应的切线方程．应当了解可能一曲线在某点处不可导；但在这一点的切线还是存在的，例如曲线y=13x在点x＝0处不可导，但在原点处有切线x＝0．3．导数运算要熟练掌握基本导数公式以及函数的和、差、积、商的求导法则．对复合函数求导法则，应首先搞清楚函数的复合过程，方法是研究运算顺序，例如给定函数y＝ln(sinex)，所谓运算顺序是指对自变量x，应先计算u=ex，再计算v=sinu，最后算出y＝lnv，然后倒过来即得复合过程y＝lnv，v=sinu，u＝ex，第6页共31页从而有y’=11coscos()cot()sin()xxxxxxueeeeeve．对复合函数求导法则的掌握，要熟练到可以不写出复合过程而直接写出求导结果．4．函数的单调性应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．f(x)在区间I上可导，那么f’(x)0是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，但f’(0)=0，这说明f’(x)0非必要条件．我们也可利用导数来证明一些不等式．如f(x)、g(x)均在[a、b]上连续，(a，b)上可导，那么令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)也在[a，b]上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x∈(a，b)有h’(x)0且h(a)≥0，则当x∈(a，b)时h(x)h(a)=0，从而f(x)g(x)对所有x∈(a，b)成立．5．可导函数的极值从函数的极值定义看，极值的存在与可微性无必然联系．如f(x)=|x－1|，易见当x=1时f(x)取得极小值，但f’(1)不存在．所以用研究导数的方法探求函数的极值，实际上是将研究的范围局限于可导函数．对可导函数f(x)，在x=x0取极值的必要条件是f(x0)＝0．又设f(x)在点x=x0处取得极小值，是否一定存在x0的邻域(α，β)，使当x∈(α，x0)时f’(x)0，且当x∈(x0，β)时f’(x)0，答案是否定的，即f’(x)在x0的“左侧附近”为负，且在x0“右侧附近”为正仅是f(x0)为极小值的充分条件，为说明这一情况，我们考察函数f(x)=21(2sin)000xxxx，由于00()(0)1limlim(2sin)00xxfxfxxx,故有112(2sin)cos0'()00xxfxxxx，即f(x)在R上可导．又当x≠0时f(x)0，而f(0)=0，故当x＝0时f(x)取得极小值0，但对任何α0，总可取到充分小的k∈Z，使x1＝12k∈(α，0)，且f’(x1)=412k0，又对任何β0，总可取到充分大的k∈Z，使x2=12k∈(0，β)，且f’(x2)=412k0．6．函数的最大值与最小值函数的极值是“局部性质”，例如极小值点是指存在一个邻域，在其中此点第7页共31页的函数值最小，而函数的最大值、最小值是“全局性质”，即在函数的整体定义域内的某点处函数值最大（小），这两个概念是有区别的．但它们也有联系，即当最大（小）值点在区间内部时，它当然也是极值点，所以求定义于区间[a，b]上的函数f(x)的最大（小）值时，只需此较诸极值与区间端点处的函数值f(x)、f(b)即可．我们知道，[a，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值．若又有f(x)在(a，b)上可导的条件，则由极值点处f’(x)＝0可知最大（小）值点x0∈{x|f’(x0)=0或x＝a或x＝b}．但由于f(x)在[a，b]上连续并不能保证其在(a，b)内可导，而最大（小）值可能出现在f’(x)不存在的点处（如f(x)=|x(x－1)|，易见最小值为0，出现在点x=0或x＝1处，而此时f’(x)不存在），所以若仅有f(x)在[a，b]连续的条件，为求f(x)的最大（小）值，还需要求出使f’(x)不存在的点，将这些点处的函数值与诸极值及f(a)、f(b)比较，从而确定最大值与最小值．根据上述分析，若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，如果我们可从另外的途径，比如问题的实际背景判断出f(x)的最小值不可能出现在点x＝a、x＝b处，那么当方程f’(x)＝0在(a，b)内仅有一解x0时，则可断定f(x0)为最小值．（二）典型例题讲解：1．导数的概念例1．已知曲线y=3x上的一点P(0,0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.例2．求曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵y=x2,∴y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2=4x＋(x)2∴k＝00limlim(4)4xxyxx