高三数学第二轮专题复习系列(2)-- 函数与导数

第1页（共21页）高三数学第二轮专题复习系列(2)--函数与导数一大纲解读该部分内容在课程标准中约占整个高中数学教学总课时的20%，它的范围是必修一除集合外的全部内容和选修22的第一章导数及其应用，其主要考试要求是基本初等函数的概念、图象和性质，函数与方程、函数模型及其应用，导数的概念、运算，以导数为工具的对函数性质和应用的进一步深入探讨，对理科还有对定积分概念以及与此相关的问题，在高考试卷中分值约是20%，与实际教学中的课时比例基本相当．二高考预测可以预计作为高中数学主干知识的函数与导数的内容，在2009年的高考中仍将占有重要位置，将是全方位、多层次（估计会有23个以对基本初等函数的概念性质和对导数及其应用的基本内容为主的选择和填空题）、巧综合、变角度（一个以函数为载体导数为工具综合考查数学知识和数学思想的综合解答题）的考查方式，对理科来说定积分及其应用也是一个值得关注的地方.三、重点剖析1.函数及其表示、初等函数的基本性质，包括定义域，值域（最值），图象，单调性，奇偶性，周期性等．例1（08年山东卷理4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为（A）(A)3(B)2(C)1(D)-1解析：A该函数的图象是一个在1,xxa两侧斜率为2,2的射线，在1,xxa之间为平行于x轴的线段，若要该函数图象关于1x对称，只需1,xxa关于1x对称，112a，即3a。点评：本题考查对带有绝对值的函数的理解和分析问题的能力。实际是带有绝对值的函数是一个分段函数，题目给出的是一个三段的函数，解题的关键是用“零点分区“去掉绝对值后，对各段上函数解析式的认识。易错指导：对“零点分区”去绝对值的方法认识模糊，不能正确地将函数化为分段函数；缺乏理性思维，不能“想象”出函数图象的大致形状，是一个类似水渠横断面的图形。例1（08年山东卷文12）已知函数()log(21)(01)xafxbaa，的图象如图所示，则ab，满足的关系是（）A．101abB．101baC．101baD．1101ab解析：A首先由于函数21xxb单调递增，1a；又100f，即1log0ab，所以11ab，故101ab。点评：本题考查指数函数、对数函数等基础知识，考查分析问题解决问题的能力。解题的关键是根据指数函数、对数函数的性质和所给的图象特征找出,ab所满足的不等关系。易错指导：不能自觉地利用函数性质，理解错函数图象给出的关系等，是本题出错的主要原因。2.函数模型及其应用、函数的零点定理1Oyx第2页（共21页）例2．关于x的方程222(1)10xxk，给出下列四个命题：①．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实数根；②．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实数根；③．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实数根；④．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实数根；其中假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3分析：若展开直接求解，问题将复杂化；可根据方程的结构特征，利用换元法化高次为低次，转化为我们熟悉的二次函数模型进行解答．解：令21(0)txt，则方程可化为20(0)ttkt，分别作出21tx（如图1）和2yttk（如图2）的图象，结合图象可知：当2yttk与t轴只有一个交点时，即12t（此时14k）时，结合21tx图象可知原方程有4个根；当2yttk图象下移，此时图象与t轴有两个交点且在0和1之间（此时104k），原方程有8个根；当0,1tt（即0k）时，原方程有5个根；当2yttk图象继续下移，此时1t且只能取一个正值，原方程有5个根。故选A．图1图2点评：在复习时，我们要熟练掌握二次函数、一次函数、指数函数、对数函数、耐克函数的模型；这些模型可以用来解决最值问题、方程问题、抽象函数问题．易错指导：要特别注意转化的合理性，如上例中要注意换元后新元素的取值范围．3.函数性质的刻画与导数的几何意义，以及以此为主要手段的不等式的证明，参数范围的讨论，实际应用等问题．例3（08年江苏卷8）直线12yxb是曲线ln0yxx的一条切线，则实数b＝．解析：'1yx，令112x得2x，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．点评：本小题考查导数的几何意义、切线的求法．导数的几何意义是：函数在0x处的导数值是函数图象过点（00,()xfx）的切线的斜率；曲线()yfx上的一点00(())Pxfx，处的切线方程为：000()()()yfxfxxx．例4（08年山东卷理21）已知函数1()ln(1)(1)nfxaxx，其中*xN，a为常数．第3页（共21页）（Ⅰ）当2n时，求函数()fx的极值；（Ⅱ）当1a时，证明：对任意的正整数n，当2n≥时，有()1fxx≤．解析：（Ⅰ）解：由已知得函数()fx的定义域为|1xx，当2n时，21()ln(1)(1)fxaxx，所以232(1)()(1)axfxx．（1）当0a时，由()0fx得1211xa，2211xa，此时123()()()(1)axxxxfxx．当1(1)xx，时，()0fx，()fx单调递减；当1()xx，时，()0fx，()fx单调递增．（2）当0a≤时，()0fx恒成立，所以()fx无极值．综上所述，2n时，当0a时，()fx在21xa处取得极小值，极小值为2211ln2afaa；当0a≤时，()fx无极值．（Ⅱ）证法一：因为1a，所以1()ln(1)(1)nfxxx．当n为偶数时，令1()1ln(1)(1)ngxxxx，则1112()10(1)11(1)nnnxngxxxxx（2x≥）．所以当2x，时，()gx单调递增，又(2)0g，因此1()1ln(1)(2)0(1)ngxxxgx≥恒成立，所以()1fxx≤成立．当n为奇数时，要证()1fxx≤，由于10(1)nx，所以只需证ln(1)1xx≤，令()1ln(1)hxxx，则12()1011xhxxx≥（2x≥），所以当2x，时，()1ln(1)hxxx单调递增，又(2)10h，所以当2x≥时，恒有()0hx，即ln(1)1xx命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当1a时，1()ln(1)(1)nfxxx．当2x≥时，对任意的正整数n，恒有11(1)nx≤，故只需证明1ln(1)1xx≤．令()1(1ln(1))2ln(1)hxxxxx，2x，，则第4页（共21页）12()111xhxxx，当2x≥时，()0hx≥，故()hx在2，上单调递增，因此当2x≥时，()(2)0hxh≥，即1ln(1)1xx≤成立．故当2x≥时，有1ln(1)1(1)nxxx≤．即()1fxx≤．点评：本题考查幂函数的导数、对数函数的导数、函数的单调性与极值的关系等基础知识，考查分类讨论、化归转化等数学思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查考生分析问题解决问题的能力。本题第一问，是一个中规中矩的常规试题，只要考生基本功扎实，解决起来困难不大；第二问就需要考生有较高的分析问题解决问题的能力了，利用导数证明不等式的基本思路是通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，在证明过程中，还要进行不等式的放缩（这也体现了山东对考查《不等式选讲》的力度），如果考生缺乏这样的思想意识，不能自觉地朝这个方向思考，要顺利地完成这一问的解答是不可能的。本题能有效地区分不同思维层次的考生，是一道设计十分优秀的试题。易错指导：第一问中把导数求错，或是不对参数a进行讨论是出错的主要原因；第二问中不知道构造函数，或是构造函数后解决问题的思维混乱，不知道用函数的单调性和端点值确立不等关系等是考生失分的主要原因。例4（08年山东卷文21）设函数2132()xfxxeaxbx，已知2x和1x为()fx的极值点．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）讨论()fx的单调性；（Ⅲ）设322()3gxxx，试比较()fx与()gx的大小．解析：（Ⅰ）因为122()e(2)32xfxxxaxbx1e(2)(32)xxxxaxb，又2x和1x为()fx的极值点，所以(2)(1)0ff，因此6203320abab，，解方程组得13a，1b．（Ⅱ）因为13a，1b，所以1()(2)(e1)xfxxx，令()0fx，解得12x，20x，31x．因为当(2)x，(01)，时，()0fx；当(20)(1)x，，时，()0fx．所以()fx在(20)，和(1)，上是单调递增的；在(2)，和(01)，上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3xfxxxx，故21321()()e(e)xxfxgxxxxx，令1()exhxx，则1()e1xhx．令()0hx，得1x，因为1x，时，()0hx≤，所以()hx在1x，上单调递减，故1x，时，()(1)0hxh≥；因为1x，时，()0hx≥，所以()hx在1x，上单调递增，故1x，时，()(1)0hxh≥．所以对任意()x，，恒有()0hx≥，又20x≥，因此()()0fxgx≥，故对任意()x，，恒有()()fxgx≥．点评：本题考查导数的有关基础知识，考查方程的思想、等价转化的思想，考查分析问题第5页（共21页）解决问题能力、运算求解能力。本题的关键突破口是用方程的思想求出系数,ab的值，其中第三问的证明用到构造辅助函数的方法。易错指导：第一问是本题的入口，也是本题的关键，这一问解错了这个题就算报废了，但由于文科的考试大纲对复合函数的导数不作要求，考生可能在求21xxe的导数时无所适从，事实上2121xxxexee，并不涉及复合函数的求导，另外函数式较为复杂，运算不准确，也是考生不能正确解答第一问的重要原因；第二问中对式子121xxxe符号的判断是解题的关键点，对解不等式考试大纲只要求到会解一元二次不等式，而这个不等式与一元二次不等式悬殊较大，考生就不知道利用不等式的基本性质去分析解决，这是容易出错的地方；第三问的关键是会构造辅助函数，并能正确地利用不等式的性质作出分析判断。4.定积分的概念、性质和运算等问题．例5（08年山东卷理14）设函数2()(0)fxaxca，若100()()fxdxfx，001x≤≤，则0x的值为．解析：333112100033axafxdxaxcdxcxc，故203acaxc，即203aax，又0a，所以2013x，又001x，所以033x。点评：本题所考查的知识点是很多的．首先考查定积分的性质２，其次考查函数求导运算的逆向运算，即找到两个函数使它们的导数分别等于2ax和c，这实际上是从更高的层次上考查导数的运算，第三考查微积分基本定理和具体的数值计算能力．这类题目应该说高考考查定积分的一个重要方向．易错指导：不能正确求出函数被积函数的原函数，对微积分基本定理认识模糊，运算能力薄弱等都是本题出错的原因。四扫雷先锋易错点一：对函数的性质理解不到位（下例是讲解函数的性质的易错点，故需去掉“定义域”）例1在R上定义的函数()fx是偶函数，且()(2)fxfx，若()fx在区