专题2：函数与导数

第1页共28页2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题2：函数与导数一、选择填空题1.（江苏2003年5分）设函数0021,1)(0,,0,12)(xxfxxxxfx则若的取值范围是【】A．（－1，1）B．（－1，＋∞）C．（－∞，－2）∪（0，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）【答案】D。【考点】分段函数已知函数值求自变量的范围问题，指数不等式的解法。【分析】将变量0x按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并：当0x≤0时，021x＞1，则0x＜－1；当0x＞0时，120x＞1则0x＞1，故0x的取值范围是（－∞，－1）∪（1，＋∞）。故选D。2.（江苏2003年5分）函数1ln,(1,)1xyxx的反函数为【】A．1,(0,)1xxeyxeB．1,(0,)1xxeyxeC．1,(,0)1xxeyxeD．1,(,0)1xxeyxe【答案】B。【考点】反函数。指数式与对数式的互化，求函数的值域。【分析】将1ln1xyx，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域：由已知1ln1xyx，解x得11yyexe。又∵当x∈（1，+∞）时，121111xxx，∴1ln01xyx。第2页共28页∴函数1ln,(1,)1xyxx的反函数为；1,0,+1xxeyxe。故选B。3.（江苏2003年5分）设20,()afxaxbxc，曲线()yfx在点00(,())Pxfx处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P则到曲线()yfx对称轴距离的取值范围为【】A．10,aB．10,2aC．0,2baD．10,2ba【答案】B。【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，点到直线的距离。【分析】由导数的几何意义，得到0x的范围，再求出其到对称轴的范围：∵过00(,())Pxfx的切线的倾斜角的取值范围是0,,4∴00()2fxaxb∈[0，1]。∴01,22bbxaa。又∵点P到曲线()yfx对称轴2bxa的距离0022bbdxxaa，∴010,22bdxaa。故选B。4.（江苏2004年5分）若函数)1,0)((logaabxya的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则【】(A)a=2，b=2(B)a=2，b=2(C)a=2，b=1(D)a=2，b=2【答案】A。【考点】对数函数的单调性与特殊点。【分析】将两点代入即可得到答案：∵函数y=loga（x+b）（a＞0，a≠1）的图象过两点（－1，0）和（0，1），∴loga（－1+b）=0，loga（0+b）=1。∴a=2，b=2。故选A。5.（江苏2004年5分）函数13)(3xxxf在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是【】第3页共28页(A)1，－1(B)1，－17(C)3，－17(D)9，－19【答案】C。【考点】函数的最值及其几何意义。【分析】用导研究函数13)(3xxxf在闭区间[－3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值：∵2()330,1fxxx，且在[－3，－1）上()0fx，在（－1，0]上()0fx∴函数13)(3xxxf在[－3，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数。又∵(3)17,(1)3,(0)1fff，∴函数13)(3xxxf在闭区间[－3，0]上的最大值是3，最小值分别为－17。故选C。6.（江苏2005年5分）函数)(321Rxyx的反函数的解析表达式为【】A．32log2xyB．23log2xyC．23log2xyD．xy32log2【答案】A。【考点】反函数。【分析】由函数解析式解出自变量x，再把x、y位置互换，即可得到反函数解析式：∵11222223321log31log3log3xxyyxyxyy∴)(321Rxyx的反函数为：22log3yx。故选A。7.（江苏2005年4分）曲线13xxy在点（1，3）处的切线方程是▲【答案】410xy。【考点】导数的几何意义。【分析】由题意得/231yx，∴/14xy。即曲线13xxy在点（1，3）处切线的斜率4k，所以切线方程为：341yx，即410xy。8.（江苏2005年4分）若1,,618.03kkaa，kZ,则k=▲奎屯王新敞新疆【答案】－1。【考点】指数函数的单调性与特殊点。第4页共28页【分析】先判断出0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据3xy在定义域上是增函数，得出a所在的区间，即能求出k的值：∵13＜0.618＜1，且函数3xy在定义域上是增函数，∴30.618a，－1＜a＜0，则k=－1。9.（江苏2005年4分）已知,ab为常数，若34)(2xxxf，2()1024faxbxx，则ba5=▲。【答案】2。【考点】复合函数解析式的运用，待定系数法。【分析】由34)(2xxxf，2()1024faxbxx得：22()4()31024axbaxbxx，即：22224431024axabaxbbxx。比较系数得：24341042122bbaaba，解得13ab或17ab。∴求得：52ab。10.（江苏2007年5分）设函数()fx定义在实数集上，它的图像关于直线1x对称，且当1x时，()31xfx，则有【】A．132()()()323fffB．231()()()323fffC．213()()()332fffD．321()()()233fff【答案】B。【考点】指数函数的单调性与特殊点，函数图象的对称性。【分析】由函数()fx定义在实数集上，它的图像关于直线1x对称，且当1x时，()31xfx为单调增函数，由对称性知当1x时，()fx是单调减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大。第5页共28页∵231111323，∴231()()()323fff。故选B。11.（江苏2007年5分）设2()lg()1fxax是奇函数，则使()0fx的x的取值范围是【】A．(1,0)B．(0,1)C．(,0)D．(,0)(1,)【答案】A。【考点】奇函数的性质，对数函数的单调性。【分析】∵2()lg()1fxax是奇函数，∴(0)0f得1a。∴由011lg)(xxxf得111011xxxx解得10x。故选A。12.（江苏2007年5分）已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为【】A．3B．52C．2D．32【答案】C。【考点】导数的运算【分析】先求导'()2fxaxb，由'(0)0f可得0b，因为对于任意实数x都有()0fx，所以结合二次函数的图象可得0a且240bac，从而24,0bacc；又因为(1)1'(0)fabcacfbb，利用均值不等式即可求解：22411112acacacbbb，即(1)'(0)ff的最小值为2。故选C。13.（江苏2007年5分）已知函数3()128fxxx在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则Mm▲.【答案】32。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值。第6页共28页【分析】先对函数()fx求导：)4(3123)('22xxxf，令导函数等于0求出x：x=－2或x=2。然后根据导函数的正负判断函数()fx的单调性，列出在区间[-3，3]上()fx的单调性、导函数'()fx的正负的表格，从而可确定最值得到答案：可知M=24，m=－8，∴M32m。14.（江苏2008年5分）设直线bxy21是曲线)0(lnxxy的一条切线，则实数b的值是▲【答案】ln21。【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程。【分析】要求实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可：由)0(lnxxy求导得'1yx。令112x得2x，∴切点坐标为（2，ln2）。将（2，ln2）代入直线方程，得ln21ln21bb。15.（江苏2008年5分）设函数3()31()fxaxxxR，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，则实数a的值为▲【答案】4。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①0x，②0x，③0x三种情形：若0x，则不论a取何值，0fx显然成立；若0x即(0,1]x时，3()310fxaxx可化为，2331axx设2331gxxx，则'4312xgxx，所以gx在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142gxg，从而4a；第7页共28页若0x即1,0x时，3()310fxaxx可化为2331axx，'4312xgxx0gx在区间1,0上单调递增，因此ma14ngxg，从而4a。综上所述，4a。16.（江苏2009年5分）函数32()15336fxxxx的单调减区间为▲.学科网【答案】(1,11)。【考点】利用导数判断函数的单调性。【分析】要求函数的单调减区间可先求出()fx，并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可：∵2()330333(11)(1)fxxxxx，∴由(11)(1)0xx得单调减区间为(1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。17.（江苏2009年5分）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线3:103Cyxx上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为▲.学科网【答案】（－2，15）。【考点】导数的几何意义。【分析】∵231022yxx，又∵点P在第二象限内，∴2x。∴点P的坐标为（－2，15）。18.（江苏2009年5分）已知512a，函数()xfxa，若实数m、n满足()()fmfn，则m、n的大小关系为▲.学科网【答案】m＜n。【考点】指数函数的单调性。【分析】∵51(0,1)2a，∴函数()xfxa在R上递减。由()()fmfn得：m＜n。19.（江苏2010年5分）设函数ee(R)xxfxxax是偶函数，则实数a=▲【答案】－1。【考点】函数奇偶性的性质。【分析】∵ee(R)xxfxxax是偶函数，∴ee(R)xxgxax为奇函数。第8页共28页∴00g，即00ee0a。∴a=－1。20.（江苏2010年5分）已知函数21,0()1,0xxfxx,则满足不等式2(1)(2)fxfx的x的范围是▲。【答案】(1,21)x。【考点】分段函数的单调性。【分析】分段讨论：当1x时，210x，20x，则2(1)1fx，(2)1fx。∴2(1)(2)fxfx无解。当10x时，210x，2