弹性力学基础(程尧舜-同济大学出版社)课后习题解答

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1图2.4o'zzy'y'xx习题解答第二章2.1计算:(1)piiqqjjk,(2)pqiijkjkeeA,(3)ijpklpkiljeeBB。解:(1)piiqqjjkpqqjjkpjjkpk;(2)()pqiijkjkpjqkpkqjjkpqqpeeAAAA;(3)()ijpklpkiljikjliljkkiljiijjjiijeeBBBBBBBB。2.2证明:若ijjiaa,则0ijkjkea。证:20ijkjkjkjkikjkjijkjkijkkjijkjkijkjkieaeaeaeaeaeaea。2.3设a、b和c是三个矢量,试证明:2[,,]aaabacbabbbcabccacbcc证:1231112123222123333[,,]iiiiiiiiiiiiiiiiiiaaabacaaaabcbabbbcbbbabccacbcccccabcaaabacbabbbcabccacbcc。2.4设a、b、c和d是四个矢量,证明:()()()()()()abcdacbdadbc证:()()ijijkklmlmnnijlmijklmkabecdeabcdeeabcdee()()()()()ijlmiljmimjliijjiijjabcdacbdadbc()()()()acbdadbc。2.5设有矢量iiuue。原坐标系绕z轴转动角度,得到新坐标系,如图2.4所示。试求矢量u在新坐标系中的分量。解:11cos,12sin,130,21sin,22cos,230,310,320,331。1112cossiniiuuuu,22212sincosiiuuuu,333iiuuu。2.6设有二阶张量ijijTTee。当作和上题相同的坐标变换时,试求张量T在新坐标系中的分量11T、12T、13T和33T。解:变换系数同上题。1122112212211111cos2sin2222ijijTTTTTTTT,12211221221112cos2sin2222TTTTTTT,131323cossinTTT,3333TT。2.7设有3n个数12niiiA,对任意m阶张量12mjjjB,定义12121212nmnmiiijjjiiijjjCAB若1212nmiiijjjC为nm阶张量,试证明12niiiA是n阶张量。证:为书写简单起见,取2n,2m,则ijklijklCAB,在新坐标系中,有ijklijklCAB(a)因为ijklC和klB是张量,所以有ijkliijjkkllijkliijjijkkllkliijjijklCCABAB比较上式和式(a),得()0ijiijjijklAAB由于B是任意张量,故上式成立的充要条件是ijiijjijAA即ijA是张量。2.8设A为二阶张量,试证明trIAA。证:=()()===trjkjkjkijikjkijikiiiiAAAAIAAeeeeeeee。2.9设a为矢量,A为二阶张量,试证明:3(1)()TTaAAa,(2)()TTAaaA证:(1)()()()TTTTjiijkkjiikjknnAaAaeAaeeeee()TjikjkninjnkjkiinAaeAaeeeeekkjnjnaAaAeee。(2)()()()TTTTiikjjkkjiijnnkaAAaeaAeeeee()njiijknknjnijikkAaeAaeeeeenjnjiiAaAaeee2.10已知张量T具有矩阵123[]456789T求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解:T的对称部分具有矩阵1351([][])3572579TTT,T的反对称部分具有矩阵0121([][])1012210TTT。和反对称部分对应的轴向矢量为1232ωeee。2.11已知二阶张量T的矩阵为310[]130001T求T的特征值和特征矢量。解:2310130(1)[(3)1]0001由上式解得三个特征值为14,22,31。将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45),可以求出三个特征矢量为41121)2a(ee,121()2ae+e,33ae。2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量:AImm,Bmnnm其中,和是实数,m和n是两个相互垂直的单位矢量。解:因为()()AmImmmm,所以m是A的特征矢量,是和其对应的特征值。设a是和m垂直的任意单位矢量,则有()AaImmaa所以和m垂直的任意单位矢量都是A的特征矢量,相应的特征值为,显然是特征方程的重根。令21()2mne,31()2mne,123e=ee则有232()2me+e,232()2ne+e上面定义的ie是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成1122330Beeee+ee所以,三个特征值是1、0和-1,对应的特征矢量是3e、1e和2e。2.13设a和b是矢量,证明:(1)2()()aaa(2)()()()()()abbaababba证:(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同,在此略。(2)()()()jjkkjkjkmmiiiiababexxabeeeee,,,,()()()jikjkijkmimnnjikjkijnkijiknnababeeababee,,,,jiijjiijjjkkikikababababeeee()()()()baababba2.14设2321232xyzxzxzaeee,求1()2waa及其轴向矢量。5解:12()waa23223211213212[(2)()(2)xzzxyzzxzeeeeee22222331326()6]xzzxyxzeeeeee由上式很容易得到轴向矢量,也可以按下面的方法计算轴向矢量222321112322[6()(2)]xzxyzzxzωaeee。2.15设S是一闭曲面,r是从原点O到任意一点的矢径,试证明:(1)若原点O在S的外面,积分30SdSrnr;(2)若原点O在S的内部,积分34SdSrnr。证:(1)当0r时,有33()()0iixrxrr(b)因为原点在S的外面,上式在S所围的区域V中处处成立,所以由高斯公式得33()0SVdSdvrrnrr。(2)因为原点在S的内部,所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S完全在S的内部。用V表示由S和S所围的区域,在V中式(b)成立,所以3333()0SSSSVdSdSdSdVrrrrnrnrnrr即33SSdSdSrrnrnr在S上,ra,/anr,于是3322114SSSSdSdSdSdSrraanrnr。2.16设123(2)yxxzxyfeee,试计算积分()SdSfn。式中S是球面2222xyza在xy平面的上面部分.解:用c表示圆222xya,即球面2222xyza和xy平面的交线。由Stokes公式得6()0SccdSdydxxdyfnfr。第三章3.1设r是矢径、u是位移,rru。求ddrr,并证明:当,1iju时,ddrr是一个可逆的二阶张量。解:ddddddrruIurrrddrIur的行列式就是书中的式(3.2),当,1iju时,这一行列式大于零,所以ddrr可逆。3.2设位移场为uAr,这里的A是二阶常张量,即A和r无关。求应变张量ε、反对称张量()/2Ωuu及其轴向矢量ω。解:uA,1()2TεAA,1()2TΩAA,1122ijkjklliAxxωueeee111222jkijmmkilljkijmmkijiijmmAeAeAeeeeee3.3设位移场为uAr,这里的A是二阶常张量,且,1iju。请证明:(1)变形前的直线在变形后仍为直线;(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面;(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证:(1)方向和矢量a相同且过矢径为0r的点的直线方程可以写成0trar(1)其中t是可变的参数。变形后的矢径为()rrurArIAr(2)用IA点积式(1)的两边,并利用式(2),得0()()trIAaIAr上式也是直线方程,所表示的直线和矢量()IAa平行,过矢径为0()IAr的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。7(2)因为,1iju,所以IA可逆。记1()BIA,则1()rIArBr(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成car(4)其中a是和平面垂直的一个常矢量,c是常数。将式(3)代入式(4),得()caBr(5)上式表示的是和矢量aB垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3)变形前两个平行的平面可以表示成1car,2car变形后变成1()caBr,2()caBr仍是两个平行的平面。3.4在某点附近,若能确定任意微线段的长度变化,试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化;反之,若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化,试问能否确定任意微线段的长度变化。答案:能;能。3.5设位移场为uAr,其中A是二阶常张量,n和m是两个单位矢量,它们之间的夹角为。求变形后的减小量。解:n和m方向的正应变分别为nnεn,mmεm用n和m代替式(3.11)中的1和2,经整理,得的减小量为2ctg()sinnεmnεnmεm又()/2TεAA,所以1()ctg()sinTnAAmnAnmAm。3.6设n和m是两个单位矢量,ddrrn和rrm是两个微小的矢量,变形前它们所张的平行四边形面积为Adrr,试用应变张量把变形时它的面积变化率/AA表示出来,其中A是面积变形前后的改变量。解:变形后,dr和r变成ddddrrεrωr,rrεrωr对上面两式进行叉积,并略去高阶小量,得ddddrrrrrεrrr对上式两边进行自身点积,略去高阶小量,得8()()ddrrrr()()2()()2()()ddddddrrrrrεrrrrrrr(a)注意到22()()()2()ddAAAAArrrr2()()ddArrrr所以,从式(a)可得()()()()()()ddddAAddrεrrrrεrrrrrrr()()()()(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