2012高考数学理专题突破课件第一部分专题二第一讲：三角函数的图象与性质

专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一部分专题突破方略第一讲三角函数的图象与性质主干知识整合1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．三角函数的性质：(结合图象理解，表中k∈Z)y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RRx∈Rx≠kπ＋π2值域[－1,1][－1,1]R周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数增区间－π2＋2kπ，π2＋2kπ[－π＋2kπ，2kπ]－π2＋kπ，π2＋kπ减区间π2＋2kπ，3π2＋2kπ[2kπ，π＋2kπ]无对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ无对称中心(kπ，0)π2＋kπ，0kπ2，03.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换高考热点讲练三角函数的图象变换例1若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移π4个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sinx的图象，则y＝f(x)的解析式为()A．y＝sin2x－π4＋1B．y＝sin2x－π2＋1C．y＝sin12x＋π4－1D．y＝sin12x＋π2－1【解析】将y＝sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y＝sin2x的图象，再将所得图象向上平移1个单位，得到y＝sin2x＋1的图象，再把函数y＝sin2x＋1的图象向右平移π4个单位，即得函数y＝f(x)的图象，f(x)＝sin2x－π4＋1＝sin2x－π2＋1，故选B.【答案】B【归纳拓展】在进行图象变换时，必须注意ω对平移单位长度的影响，即由函数y＝Asinωx的图象变换到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，平移量应是φω；但对y＝Asin(ωx＋φ)进行伸缩变换时，要注意φ是不变的．变式训练1设ω0，函数y＝sinωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()A.23B.43C.32D．3解析：选C.函数y＝sinωx＋π3的图象向右平移4π3个单位所得的函数解析式为y＝sinωx－4π3＋π3＝sinωx＋π3－4π3ω，又因为函数y＝sinωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，∴4π3ω＝2kπ⇒ω＝32k(k∈Z)，∵ω0，∴ω的最小值为32，故选C.三角函数的图象例2函数y＝kx＋1，－2≤x02sinωx＋φ，0≤x≤8π3，的图象如图所示，则()A．k＝12，ω＝12，φ＝π6B．k＝12，ω＝12，φ＝π3C．k＝－12，ω＝2，φ＝π6D．k＝－2，ω＝2，φ＝π3【解析】由两点(－2,0)，(0,1)，得k＝12.∵T4＝8π3－5π3＝π，∴T＝4π.由T＝2πω，得ω＝12；把5π3，0代入y＝2sin12x＋φ，得2sin5π6＋φ＝0，∴φ＝π6.【答案】A【归纳拓展】确定φ值时，通过寻找“五点法”中的第一零点－φω，0作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.变式训练2(2011年高考辽宁卷)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω0，|φ|π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，则fπ24＝________.解析：由图形知，T＝πω＝238π－π8＝π2，ω＝2.由2×38π＋φ＝kπ，k∈Z，知φ＝π4.由Atan2×0＋π4＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan2x＋π4，∴fπ24＝tan2×π24＋π4＝tanπ3＝3.答案：3三角函数的性质已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωxsin(ωx＋π2)(ω0)的最小正周期为π2.(1)写出函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间0，π3上的取值范围．例3【解】(1)f(x)＝1－cos2ωx2＋32sin2ωx＝32sin2ωx－12cos2ωx＋12＝sin2ωx－π6＋12.因为函数f(x)的最小正周期为π2，且ω0，所以2π2ω＝π2，解得ω＝2.故函数f(x)的解析式是f(x)＝sin4x－π6＋12.由2kπ－π2≤4x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ2－π12≤x≤kπ2＋π6(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间是kπ2－π12，kπ2＋π6(k∈Z)．(2)因为0≤x≤π3，故－π6≤4x－π6≤7π6，所以－12≤sin4x－π6≤1，因此0≤sin4x－π6＋12≤32，即函数f(x)在区间0，π3上的取值范围为0，32.【归纳拓展】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的对称轴、对称中心，可由整体法求得，即令ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z解得对称轴；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z解得对称中心．变式训练3(2011年高考北京卷)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.考题解答技法(2011年高考江苏卷)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．例【解析】由题图知A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋π3.令k＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f(x)＝2sin2x＋π3，∴f(0)＝2sinπ3＝62.【答案】62【名师指招】(1)解答本题极易出现的问题：①利用“π2＝7π12－π3”求周期，其原因做题不仔细；②不会求φ的值，或错误利用“2×π3＋φ＝2kπ”求φ的值．(2)本类问题中易出现忽略周期与对称轴、零点、最高点、最低点之间的关系，出现思维受阻，这些隐含条件可以运用数形结合法进行挖掘，如对称轴与最高点、最低点的关系，函数零点、最高点、最低点与周期的关系等．变式训练已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)．则f(x)的解析式为________．解析：由最低点为M(23π，－2)得A＝2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得，T2＝π2，即T＝π.∴ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M(2π3，－2)在函数f(x)的图象上得，2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1.故4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．答案：f(x)＝2sin(2x＋π6)本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放