2012高考数学理专题突破课件第一部分专题六第一讲

专题六概率与统计、推理与证明、计数原理、算法初步、复数第一部分专题突破方略第一讲计数原理、二项式定理主干知识整合1．分类计数原理和分步计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步计数原理将各步的方法种数相乘．2．排列与组合(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成Amn＝n！n－m！.(2)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是Cmn＝nn－1n－2…n－m＋1m！或写成Cmn＝n！m！n－m！.(3)组合数的性质：①Cmn＝Cn－mn，②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.3．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(r＝0,1,2，…，n)．(2)二项展开式的通项Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中Crn叫做二项式系数．(3)二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，…，Ckn＝Cn－kn，…②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数Cn2n取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Cn－12n，Cn＋12n相等，且同时取得最大值．③各二项式系数的和a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；B．C0n＋C2n＋…＋C2rn＋…＝C1n＋C3n＋…＋C2r＋1n＋…＝12·2n＝2n－1.高考热点讲练计数原理例1有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5种不同颜料给这4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种涂色办法？【解】如题图所示，分别用a、b、c、d记这四块，a与c可同色，也可不同色，可先考虑给a、c两块涂色，分两类．(1)给a、c涂同种颜色共有C15种涂法，再给b涂色有4种涂法，最后给d涂色有4种涂法，由乘法原理知，此时共有C15×4×4种涂法；(2)给a、c涂不同颜色共有A25种涂法，再给b涂色有3种涂法，最后给d涂色有3种涂法，此时共有A25×3×3种涂法．由分类计数原理知，共有C15×4×4＋A25×3×3＝260(种)涂法．【归纳拓展】既有分类原理又有分步原理的问题，“先分类，再分步”是一个重要的计数原则，在计数时应让两个原理协同作用．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”间的独立性与并列性；在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”间的连续性．掌握好分类讨论的标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．变式训练1甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A．150种B．180种C．300种D．345种解析：选D.分类：若这名女同学是甲组的，则选法有C13C15C26种，若这名女同学是乙组的，则选法有C25C12C16种，∴符合条件的选法共有C13C15C26＋C25C12C16＝345(种)．(1)某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16B．18C．24D．32排列与组合例2(2)2010年上海世博会中，甲、乙等五名志愿者被分配到中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆的四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有__________种(用数字作答)．【解析】(1)若将7个车位从左向右按1～7进行编号，则该3辆车有4种不同的停放方法：①停放在1～3号车位；②停放在5～7号车位；③停放在1、2、7号车位；④停放在1、6、7号车位．每一种停放方法均有A33＝6(种)，故共有24种不同的停放方法．(2)甲、乙两个人的安排方法数是A24；剩余的三人，分为两组，方法数是C13C22，把其作为两个元素安排到剩余的两个工作岗位上，有方法数A22.根据分步乘法计数原理得总的分法种数是A24C13C22A22＝72.故填72.【答案】(1)C(2)72【归纳拓展】解决排列、组合综合问题的关键是认真审题，把握问题的实质，分清是排列问题，是组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类，具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．变式训练2(1)在“家电下乡”活动中，某厂准备从5名销售员和4名技术员中选出3人赴邻近镇开展家电促销活动，若要求销售员和技术员至少各一名，则不同的组合方案种数为()A．140B．100C．80D．70(2)形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A．20B．18C．16D．11解析：(1)选D.由题意应分两类：①2名销售员与1名技术员，有C25C14＝40(种)方案；②1名销售员与2名技术员，有C15C24＝30(种)方案．综上共有40＋30＝70(种)方案，故选D.(2)选C.由题意可得，十位和千位只能是4、5或者3、5.若十位和千位排4、5，则其他位置任意排1、2、3，则这样的数有A22A33＝12(个)；若十位和千位排5、3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1、2在其余位置上任意排列，则这样的数有A22A22＝4(个)，综上，共有16个．二项式定理例3(2011年高考浙江卷)设二项式(x－ax)6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是__________．【解析】A＝C26(－a)2，B＝C46(－a)4由B＝4A知，4C26(－a)2＝C46(－a)4，解得a＝±2.∵a0，∴a＝2.【答案】2【归纳拓展】求二项展开式中的特定项一定要抓住展开式中的通项Tr＋1＝Crnan－rbr，要注意通项是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第r项，这里r＝0,1，…，n.求解时要将通项化成常数乘一个未知数多少次方的形式，然后求适合条件的项．变式训练3如果(3x－13x2)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是()A．7B．－7C．21D．－21解析：选C.由已知：2n＝128，n＝7，由Tr＋1＝Cr7(3x)7－r·(－13x2)r＝Cr7·37－r(－1)r·x7－53r，令7－53r＝－3，得r＝6，故1x3的系数为C67·31·(－1)6＝21，故选C.考题解答技法例(2010年高考辽宁卷)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为__________．【解析】(x－1x)6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6x6－k(－1x)k＝(－1)kCk6x6－2k，由6－2k＝0，得k＝3，由6－2k＝－1，得k＝72，故不存在含x－1的项，由6－2k＝－2，得k＝4，∴T4＝(－1)3C36x0＝－20，T5＝(－1)4C46x－2＝15x－2∴(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为1×(－20)＋x2×(15x－2)＝－20＋15＝－5【答案】－5【名师指招】本题中所求的常数项并不是(1＋x＋x2)中的常数项与(x－1x)6展开式中的常数项的积，解题时易忽略这点，从而导致错解．除此外，在与二项式定理有关的题目中，常见的易忽略的误区有：(1)二项展开式的通项Tk＋1中，项数与k的关系搞不清．(2)二项式系数与各项的系数混淆不清．(3)在展开二项式(a－b)n时，忽略中间的“－”号．变式训练在(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是()A．－25B．－5C．5D．25解析：选B.(x2＋x＋1)(x－1)5展开式中含x4项的系数是(x－1)5展开式中x2，x3，x4项的各项系数的和．∵(x－1)5的展开式通项：Tr＋1＝Cr5·x5－r·(－1)r，令5－r＝2,3,4，分别得r＝3,2,1，∴T4＝－C35·x2，系数为－C35＝－10，T3＝C25·(－1)2·x3，系数为10，T2＝C15x4·(－1)1，系数为－5，故含x4项的系数为－10＋10－5＝－5，故选B.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放