2012高考数学理专题突破课件第一部分专题四第二讲：点、直线、平面之间的位置关系

专题四立体几何第一部分专题突破方略第二讲点、直线、平面之间的位置关系主干知识整合1．直线与平面的平行问题直线与平面平行的判定方法(1)判定定理：不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)转化为面面平行再推证线面平行．(3)一直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这一直线与另一平面也平行．2．平面与平面的平行问题(1)在面面平行的判定定理中“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略，否则结论不一定成立．(2)若由两个平面平行来推证两直线平行时，则这两直线必须是第三个平面与这两个平面的交线．(3)分别在两个平行平面内的两条直线，它们可能平行，也可能异面．(4)a、b为两异面直线，a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β.(5)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．3．直线与平面的垂直问题(1)在判定定理中，易忽视两直线为“相交直线”．(2)过一点有且只有一条直线与一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．(3)a∥bb⊥α⇒a⊥α.4．平面与平面的垂直问题(1)判定的关键是结合图形利用条件在一平面内找一条线是另一平面的垂线，由此可知，凡是包含此线的面都与另一面垂直．(2)空间中直线与直线垂直，直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以互相转化，其转化关系为：(3)利用面面垂直的性质定理添加面的垂线时，一定要注意是在某一平面内作交线的垂线．此线即为另一面的垂线，否则结论不一定成立．(4)几个易混淆的结论：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；④垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面．高考热点讲练线线、线面的位置关系例1三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．求证：(1)MN∥平面BCC1B1；(2)MN⊥平面A1B1C.【证明】(1)连接BC1，AC1，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN∥BC1.又∵MN⊄平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)∵三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形．∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C.连接A1M，CM，△AMA1≌△AMC，∴A1M＝CM.又N为A1C的中点，∴MN⊥A1C.∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C.【归纳拓展】线面平行、线面垂直的证明是立体几何的基本功，备考中要加强训练，熟练运用，在运用中体会判定定理条件的运用，包括思路分析、方法确认，书写表达规范．新课标考试说明对立体几何的要求有所降低，这只是在知识应用方面有所降低，但是表达规范性上提出了更高的要求，一定要推理充分，论证有力，思路清晰，逻辑严密．变式训练1如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD＝CD＝12AB，且O为AB中点．求证：(1)BC∥平面POD；(2)AC⊥PD.证明：(1)因为O为AB的中点，所以BO＝12AB，又AB∥CD，CD＝12AB，所以有CD＝BO，CD∥BO，所以四边形ODCB为平行四边形，所以BC∥OD，又DO⊂平面POD，BC⊄平面POD，所以BC∥平面POD.(2)连接OC.因为CD＝BO＝AO，CD∥AO，所以四边形ADCO为平行四边形，又AD＝CD，所以ADCO为菱形，所以AC⊥DO，因为△PAB为正三角形，O为AB的中点，所以PO⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB＝AB，所以PO⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，又PO∩DO＝O，所以AC⊥平面POD.又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD.(2011年高考江苏卷)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.面与面的位置关系例2【证明】(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.【归纳拓展】(1)要证两平面平行，常根据：“如果一个平面内有两相交直线分别和另一平面平行，那么这两个平面平行”或“一个平面内两相交直线分别与另一平面内两相交直线平行，那么这两个平面平行”，还可以利用线面垂直的性质，即“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(2)要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”．从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．变式训练2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：(1)平面EFG∥平面PMA；(2)平面EFG⊥平面PDC.证明：(1)∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.又∵EG、GF都在平面EFG内，且相交，∴平面EFG∥平面PMA.(2)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD.∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.平面图形的折叠问题例3(2011年高考江西卷)如图，在△ABC中，∠B＝π2，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.(1)当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.【解】(1)令PA＝x(0＜x＜2)，则A′P＝PD＝x，BP＝2－x.因为A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD.所以VA′－PBCD＝13Sh＝16(2－x)·(2＋x)x＝16(4x－x3)．令f(x)＝16(4x－x3)，由f′(x)＝16(4－3x2)＝0，得x＝233(负值舍去)．当x∈0，233时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈233，2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以当x＝233时，f(x)取得最大值．故当VA′－PBCD最大时，PA＝233.(2)证明：设F为A′B的中点，如图所示，连接PF，FE，则有EF綊12BC，PD綊12BC.所以EF綊PD.所以四边形EFPD为平行四边形．所以DE∥PF.又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.【归纳拓展】(1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决．变式训练3如图，已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝2AB＝2BC.沿AC将△ABC折起，使点B到点P的位置，且平面PAC⊥平面ACD.(1)证明：PC⊥CD；(2)在PA上是否存在一点E，使得BE∥平面PCD？若存在，请指出点E的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，易知AC⊥CD，∵平面PAC⊥平面ACD，交线为AC，∴CD⊥平面PAC，又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD.(2)存在，当点E为PA的中点时，BE∥平面PCD.证明如下：取PA的中点为E，AD的中点为F，连接BE，BF，EF.不妨设AD＝2，BC＝1，∴BC＝FD，又BC∥FD，不妨设四边形BCDF是平行四边形，∴BF∥CD，∵BF⊄平面PCD，∴BF∥平面PCD.∵E，F分别是PA，AD的中点，∴EF∥PD.∵EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD.∵EF∩BF＝F，∴平面BEF∥平面PCD，∵BE⊂平面BEF，∴BE∥平面PCD.考题解答技法例(本题满分12分)(2011年高考福建卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P­ABCD的体积．【解】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.2分因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.3分又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.4分(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.6分又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形.8分所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB·AE＋12CE·DE＝1×2＋12×1×1＝52.10分又PA⊥平面ABCD，PA＝1，所以V四棱锥P­ABCD＝13S四边形ABCD·PA＝13×52×1＝56.12分【得分技巧】(1)证明CE⊥PA，CE⊥AD；(2)正确计算底面ABCD的面积是最重要的得分点．【失分溯源】(1)解答本题第(1)问，不说明CE⊂平面ABCD，直接说明PA⊥CE，或不写出PA∩AD＝A直接下结论，这是做这一类题常犯的错误，步骤不完整．(2)解答第(2)问不能充分利用Rt△CDE求DE，CE的长．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放