2012高考数学理专题突破课件第二部分第一讲：数学思想方法

第二部分应试高分策略第一讲数学思想方法思想方法例析函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．(3)方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0.通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要．2．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．例1(2011年高考湖北卷)将两个顶点在抛物线y2＝2px()p0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3【解析】如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为p2，0，设A(m，2pm)(m0)，则由抛物线定义，|AF|＝|AA1|，即m＋p2＝|AF|.又|AF|＝|AB|＝22pm，∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p24＝0，①∴Δ＝()－7p2－4×p24＝48p20，∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p0，m1·m2＝p240，∴m10，m20，∴n＝2.【答案】C在等比数列{an}中，an0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当S11＋S22＋S33＋…＋Snn最大时，求n的值．例2【解】(1)因为a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，所以a23＋2a3a5＋a25＝25.又an0，∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，所以a3a5＝4.而q∈(0,1)，所以a3a5，所以a3＝4，a5＝1，q＝12，a1＝16，所以，an＝16×(12)n－1＝25－n.(2)bn＝log2an＝5－n，所以bn＋1－bn＝－1，所以，数列{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列．所以，Sn＝n9－n2，Snn＝9－n2.所以，当n≤8时，Snn0，当n＝9时，Snn＝0，n9时，Snn0，当n＝8或9时，S11＋S22＋…＋Snn最大．数形结合思想1．数形结合思想的含义(1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合思想解决的问题类型(1)运用数轴、Venn图解决不等式(组)的解集、集合运算问题；(2)运用平面直角坐标系和函数的图象解决函数问题、不等式问题、方程问题等；(3)三角函数与解三角形问题；(4)立体几何问题；(5)可行域求最优解问题；(6)数列问题；(7)方程的曲线与曲线的方程等解析几何问题；(8)复数问题．已知函数f(x)＝x3－3x＋1，x∈R，A＝{x|t≤x≤t＋1}，B＝{x||f(x)|≥1}，集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是()A．{0，3－1}B．[0，3－1]C．(0，3－1]D．(0，3－1)例3【解析】由集合B知：x3－3x＋1≥1①或x3－3x＋1≤－1②.由①得：－3≤x≤0或x≥3；由②得(x＋2)(x2－2x＋1)≤0，解得x＝1或x≤－2.集合B在数轴上表示如图．又集合A∩B只有一个元素，所以t0且t＋13，即0t3－1，故选D.【答案】D(2011年高考天津卷)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()例4A．(－∞，－2]∪－1，32B．(－∞，－2]∪－1，－34C.－1，14∪14，＋∞D.－1，－34∪14，＋∞【解析】由已知得f(x)＝x2－2－1≤x≤32，x－x2x－1或x32，如图，要使y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，则－1c－34或c≤－2，应选B.【答案】B分类讨论思想1．分类讨论思想的含义(1)分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．(2)对问题实行分类与整合，确定分类标准后等于增加了一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中，特别是排列、组合中的计数问题．(2011年高考江苏卷)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为__________．例5【解析】首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a0时，1－a1,1＋a1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，所以a＝－34.当a0时，1－a1,1＋a1.【答案】－34所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以a＝－32(舍去)．综上，满足条件的a＝－34.(2011年高考上海卷)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．例6【解】(1)当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．∵2x1＜2x2，a＞0⇒a(2x1－2x2)＜0，3x1＜3x2，b＞0⇒b(3x1－3x2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，当a＜0，b＞0时，32x＞－a2b，则x＞log1.5－a2b；当a＞0，b＜0时，32x＜－a2b，则x＜log1.5－a2b.转化与化归思想1．转化与化归思想的含义(1)转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．(2)转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换的具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．2．转化与化归的常见方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在棱的中点，O为面对角线A1C1的中点．求证：(1)平面MNP∥平面A1C1B；(2)OM⊥平面A1C1B.例7【证明】(1)连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B.(2)连接C1M和A1M，设正方体的棱长为a，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，C1M＝A1M，又∵O为A1C1的中点，∴A1C1⊥MO，连接BO和BM，在△BMO中，经计算知：OB＝62a，MO＝32a，BM＝32a，∴OB2＋MO2＝MB2，即BO⊥MO.而A1C1，BO⊂平面A1C1B，∴MO⊥平面A1C1B.已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为__________．例8【解析】由题意得A＝{y|ya2＋1或ya}，B＝{y