2012高考数学考前三个月专题复习课件2(1)：集合、 常用逻辑用语

专题二集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数§1集合与常用逻辑用语真题热身1．(2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.解析A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．{－1,2}2．(2011·北京改编)若p是真命题，q是假命题，则下列结论错误的是________．(填序号)①p∧q是真命题；②p∨q是假命题；③綈p是真命题；④綈q是真命题．解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知只有④正确．①②③3．(2011·大纲全国改编)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是________．(填序号)①ab＋1；②ab－1；③a2b2；④a3b3.解析要求ab成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出ab，而由ab推不出选项．在①中，ab＋1能使ab成立，而ab时ab＋1不一定成立，故①正确；在②中，ab－1时ab不一定成立，故②错误；在③中，a2b2时ab也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故③错误；在④中，a3b3是ab成立的充要条件，故④也错误．①4．(2011·安徽改编)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是______________________________________．解析由于全称命题的否定是存在性命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为存在性命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．存在一个能被2整除的整数不是偶数考点整合1．集合(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．要特别注意用描述法表示集合时先弄清楚集合的元素是什么，再进行集合间关系的判断及运算．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．四种命题间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．3．含有一个量词的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x0∈M，綈p(x0)是存在性命题．(2)存在性命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)是全称命题．4．充分、必要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)ABp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)BAp是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含分类突破一、集合间关系与运算例1若集合A＝{y|y＝x3，－1≤x≤1}，B＝{x|y＝1－x}，则A∩B＝________.解析集合A表示的是函数的值域，y＝x3在[－1,1]上单调递增，所以A＝[－1,1]；集合B表示的是函数的定义域，所以B＝(－∞，1]，因此A∩B＝[－1,1]．[－1,1]归纳拓展解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．变式训练1(1)设集合M＝{y|y－m≤0}，N＝{y|y＝2x－1，x∈R},若M∩N≠∅,则实数m的取值范围为__________．解析M＝{y|y≤m}，N＝{y|y－1}，结合数轴易知m－1.(－1,＋∞)(2)(2011·北京)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为________．解析由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.[－1,1]二、逻辑联结词、全称(存在性)命题例2已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，即x∈[1,2]时，a≤x2恒成立，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.归纳拓展含有逻辑联结词的命题要首先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．20变式训练2已知命题p：∃x∈R，使sinx＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋10.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“綈p∨q”是真命题；③命题“綈p∨綈q”是假命题；④命题“p∧綈q”是假命题．其中正确命题的序号为________．解析∵521，∴sinx＝52不成立，即命题p为假命题．又∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340恒成立，即命题q为真命题，从而知“綈p∨q”是真命题，“p∧綈q”是假命题，故填②④.②④三、充分、必要条件例3已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)，得1－m≤x≤1＋m.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．即p⇒q但q⇒p.∴{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，∴1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9.∴实数m的取值范围为{m|m≥9}．归纳拓展一般地，在涉及到求字母参数的取值范围的充要条件的问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑．綈p与綈q是两个非空的数集，綈p是綈q的必要而不充分条件，即綈q綈p，深刻理解这一点，是解决本例的关键．另外，一个命题与它的逆否命题是等价命题，故常将綈p是綈q的必要不充分条件，等价转化为q是p的必要不充分条件．变式训练3命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x＋y≠5，则甲是乙的___________条件．解析“甲⇒乙”，即“x≠2或y≠3”⇒“x＋y≠5”，其逆否命题为：“x＋y＝5”⇒“x＝2且y＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．必要不充分规范演练一、填空题1．设全集为R，集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x≥0}，则∁R(A∪B)＝____________.解析∵A∪B＝{x|x＞－1}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤－1}．{x|x≤－1}2．(2011·辽宁)已知命题p：∃n∈N,2n1000，则綈p为________________．解析由于存在性命题的否定是全称命题，因而綈p：∀n∈N,2n≤1000.∀n∈N,2n≤10003．(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的______________条件．解析tan2kπ＋π4＝tanπ4＝1，反之tanx＝1，则x＝kπ＋π4(k∈Z)，∴“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tanx＝1”的充分不必要条件．充分不必要4．已知集合A＝{(x，y)|y－3x≤0}，集合B＝{(x，y)|x2＋(y－a)2≤1}，若A∩B＝B，则a的取值范围是_____________．解析集合A表示直线y＝3x及其右下方区域，集合B表示以(0，a)为圆心，1为半径的动圆及其内部，由于A∩B＝B，∴B⊆A，因此动圆必须在不等式y－3x≤0表示的区域内部，如图所示．应满足a0，|a－0×3|12＋(3)2≥1，解得a≤－2.(－∞,－2]5．给定下列四个命题：①“x＝π6”是“sinx＝12”的充分不必要条件；②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；③若ab，则am2bm2；④若集合A∩B＝A，则A⊆B.其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．解析①中由x＝π6⇒sinx＝12，但sinx＝12⇒x＝π6，故①为真命题．②中p∨q为真，但p、q不全为真命题，则推不出p∧q为真，故②为假命题．③中当m2＝0时不成立，故③为假命题．④中A∩B＝A⇔A⊆B，故④为真命题，故答案为①④.①④6．若集合A＝{x|(k＋1)x2＋x－k＝0}有且仅有两个子集，则实数k的值是_____________．解析A中有且只有一个元素，即①当k＋1≠0时，Δ＝12－4×(k＋1)×(－k)＝4k2＋4k＋1＝0.∴k＝－12，②当k＋1＝0时，k＝－1也符合要求．－1或－127．设集合A＝{x|－2－axa，a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________．解析由命题p：1∈A，得－2－a1，a1.解得a1.由命题q：2∈A，得－2－a2，a2.解得a2.又∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假或p假q真，当p真q假时，a1，a≤2，即1a≤2，当p假q真时，a≤1，a2，无解．故所求a的取值范围为(1,2]．(1,2]8．(2011·江苏)设集合A＝{(x，y)|m2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是____________．解析∵A∩B≠∅，∴A≠∅，∴m2≥m2，∴m≥12或m≤0.显然B≠∅.要使A∩B≠∅，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即|2－2m|2≤|m|或|1－2m|2≤|m|，∴2－22≤m≤2＋2.又∵m≥12或m≤0，∴12≤m≤2＋2.当m＝0时，(2,0)不在0≤x＋y≤1内．综上所述，满足条件的m的取值范围为[12，2＋2]．[12，2＋2]二、解答题9．已知命题P：函数f(x)＝log2m(x＋1)是增函数；命题Q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0.(1)写出命题Q的否定綈Q；并求出实数m的取值范围，使得命题綈Q为真命题；(2)如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．解(1)綈Q：∃x0∈R，x20＋mx0＋10，若綈Q为真命题，则Δ＝m2－40，解得m－2或m2.故所求实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)若函数f(x)＝log2m(x＋1)是增函数，则2m1，∴A＝{m|m12}．又∀x∈R，x2＋mx＋1≥0为真命题时，由Δ＝m2－4≤0，m的取值范围为B＝{m|－2≤m≤2}，由“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题．故命题P、Q中有且仅有一个为真命题．当P真Q假时，实数m的取值范围为A∩(∁RB)＝(2，＋∞)，当P假Q真时，实数m的取值范围为(∁RA)∩B＝[－2，12]．综上，所求实数m的取值范围为[－2，12]∪(2，＋∞)．10．已知命题p：2x2－9x＋a0，命题q：x2－4x＋30，x2－6x＋80，且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．解解q得：2x3，∵綈p是綈q的充分条件，∴綈p⇒綈q即q⇒p.设函数f(x)＝2x2－9x＋a，则命题p为“f(x)0”．∴q⇒p，利用数形结合，应有f(2)≤0，f(3)≤0，即2×22－9×2＋a≤0，2×32－9×3＋a≤0，解得a≤10，a≤9，∴a≤9.故实数a的取值范围是{a|a≤9}．返回