2012高考数学试题汇编立体几何

2012高考数学试题汇编立体几何（四川卷）数学（供文科考生使用）•14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。NMB1A1C1D1BDCAABCPPABC•[解析]（1）连接OC.由已知，所成的角•设AB的中点为D，连接PD、CD.•因为AB=BC=CA,所以CDAB.•因为等边三角形，•不妨设PA=2，则OD=1，OP=,AB=4.•所以CD=2，OC=.•在Rttan.…………………………6分•（2）过D作DE于E，连接CE.•由已知可得，CD平面PAB.•据三垂线定理可知，CE⊥PA，•所以，.•由（1）知，DE=在Rt△CDE中，tan故…………………………………12分•[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.18.(本小题满分13分)如下图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，//,ABCDPDAD，E是PB中点，F是DC上的点，且12DFAB，PH为PAD中AD边上的高。(1)证明：PH平面ABCD；(2)若1,2,1PHADFC，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB．广东卷数学（文科）2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）20.（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。2012江苏高考数学试卷16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；（2）直线1//AF平面ADE．2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学19.（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面的距离;（Ⅱ）若求二面角的平面角的余弦值。2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)(18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，/,ABACAA点M，N分别为/AB和//BC的中点。(Ⅰ)证明：MN∥平面//AACC;(Ⅱ)若二面角/AMNC为直二面角，求的值。•【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。2012年福建省高考理科数学18.（本小题满分13分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。[（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小为30°，求AB的长。2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）18.（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.[来源%:*中#国教~育出@版网]（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，3BC，905.ABCAC,得5,AD又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CDAE,,PAABCDCDABCD平面平面所以.PACD而,PAAE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.（Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BGCDAEADFGPF分别与相交于连接由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF为直线ＰＢ与平面PAE所成的角，且BGAE.由PAABCD平面知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.4,2,,ABAGBGAF由题意，知,PBABPF因为sin,sin,PABFPBABPFPBPB所以.PABF由90//,//,DABABCADBCBGCD知，又所以四边形BCDG是平行四边形，故3.GDBC于是2.AG在RtΔBAG中，4,2,,ABAGBGAF所以222168525,.525ABBGABAGBFBG于是85.5PABF又梯形ABCD的面积为1(53)416,2S所以四棱锥PABCD的体积为1185128516.33515VSPA解法2：如图（2），以A为坐标原点，,,ABADAP所在直线分别为xyz轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PAh则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).ABCDEPh（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CDAEAPh因为8800,0,CDAECDAP所以,.CDAECDAP而,APAE是平面PAE内的两条相交直线，所以.CDPAE平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CDAP分别是PAE平面，ABCD平面的法向量，而PB与PAE平面所成的角和PB与ABCD平面所成的角相等，所以cos,cos,.CDPBPAPBCDPBPAPBCDPBPAPB,即由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CDAPh由(4,0,),PBh故222160000.162516hhhh解得855h.又梯形ABCD的面积为1(53)4162S，所以四棱锥PABCD的体积为118512851633515VSPA.【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PACD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13VSPA算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.19．（本小题满分12分）如图1，45ACB，3BC，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将?ABD折起，使90BDC（如图2所示）．（?）当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；（?）当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小．DABCACDB图2图1ME.·考点分析：本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。难易度：★★解析：（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC中，设(03)BDxx，则3CDx．由ADBC，45ACB知，△ADC为等腰直角三角形，所以3ADCDx.由折起前ADBC知，折起后（如图2），ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD．又90BDC，所以11(3)22BCDSBDCDxx．于是1111(3)(3)2(3)(3)33212ABCDBCDVADSxxxxxx312(3)(3)21233xxx，当且仅当23xx，即1x时，等号成立，故当1x，即1BD时,三棱锥ABCD的体积最大．解法2：同解法1，得321111(3)(3)(69)3326ABCDBCDVADSxxxxxx．令321()(69)6fxxxx，由1()(1)(3)02fxxx，且03x，解得1x．当(0,1)x时，()0fx；当(1,3)x时，()0fx．所以当1x时，()fx取得最大值．故当1BD时,三棱锥ABCD的体积最大．（?）解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系Dxyz．由（?）知，当三棱锥ABCD的体积最大时，1BD，2ADCD．于是可得(0,0,0)D，(1,0,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2)A，(0,1,1)M，1(,1,0)2E，且(1,1,1)BM．设(0,,0)N，则1(,1,0)2EN.因为ENBM等价于0ENBM，即11(,1,0)(1,1,1)1022，故12，1(0,,0)2N.所以当12DN（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，ENBM．设平面BMN的一个法向量为(,,)xyzn，由,,BNBMnn及1(1,,0)2BN，得2,.yxzx可取(1,2,1)n．设EN与平面BMN所成角的大小为，则由11(,,0)22EN，(1,2,1)n，可得1|1|32sincos(90)2||||262ENENnn，即60．故EN与平面BMN所成角的大小为60.CADB图aEMxyz图bCADBEFMN图cBDPCFNEBGMNEH图d第19题解答图N解法2：由（?）知，当三棱锥ABCD的体积最大时，1BD，2ADCD．如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF?AD.由（?）知AD平面BCD，所以MF平面BCD.如图c，延长FE至P点使得FPDB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DPBF.取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN?DP，所以ENBF.因为MF平面BCD，又EN面BCD，所以MFEN.又MFBFF，所以EN面BMF.又BM面BMF，所以ENBM.因为ENBM当且仅当ENBF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的.即当12DN（即N是CD的靠近点D的一个四等分点），ENBM．连接MN，ME，由计算得52NBNMEBEM，所以?NMB与?EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，则BM平面EGN．在平面EGN中，过点E作EHGN于H，则EH平面BMN．故ENH是EN与平面BMN所成的角．在?EGN中，易得22EGGNNE，所以?EGN是正三角形，故60ENH，即EN与平面BMN所成角的大小为60.20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN?平面ABCD；(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）