2012高考湖南文科数学试题及答案(高清版)

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N等于()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{1}D．{0}2．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i3．命题“若π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若π4，则tanα≠1B．若π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则π4D．若tanα≠1，则π44．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()5．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71yx，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(,)xyC．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg6．已知双曲线C：22221xyab的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A．221205xyB．221520xyC．2218020xyD．2212080xy7．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ccab；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③8．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()北京天梯志鸿教育科技有限责任公司A．32B．332C．362D．33949．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且π2x时，(x－π2)f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为()A．2B．4C．5D．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)10．在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝________.11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29～63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．(二)必做题(12～16题)12．不等式x2－5x＋6≤0的解集为________．13．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差2222121[]nsxxxxxxn…，其中x为x1，x2，…，xn的平均数)14．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.15．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则APAC________.16．对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53北京天梯志鸿教育科技有限责任公司已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1))确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(注：将频率视为概率)18．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，ω＞0，π02＜＜)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－π12)－f(x＋π12)的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．21．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．22．已知函数f(x)＝ex－ax1，其中a＞0.(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．1．B由N＝{x|x2＝x}，知x＝0或x＝1.又∵M＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0,1}．北京天梯志鸿教育科技有限责任公司2．Az＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，∴1iz.3．C命题“若π4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则π4”．4．D若为D项，则主视图如图所示，故不可能是D项．5．DD项中，若该大学某女生身高为170cm，则其体重约为：0.85×170－85.71＝58．79(kg)．故D项不正确．6．A由2c＝10，得c＝5，∵点P(2,1)在直线byxa上，∴21ba.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5.故C的方程为221205xy.7．D①()cccbaabab，∵a＞b＞1，c＜0，∴()0cbaab.即0ccab.故①正确．②考察函数y＝xc(c＜0)，可知为单调减函数．又∵a＞b＞1，∴ac＜bc.故②正确．③∵a＞b＞1，c＜0，∴logb(a－c)＞0，loga(b－c)＞0，∴log()lg()lglog()lglg()baacacabcbbc.∵lg()1lg()acbc，lg1lgab，∴lg()lg1lglg()acabbc，故③正确．8．B在△ABC中，由余弦定理可知：AC2=AB2+BC2－2AB·BCcosB，即7=AB2+4－2×2×AB×12.整理得AB2－2AB－3=0.解得AB=－1(舍去)或AB=3.故BC边上的高AD=AB·sinB=3×sin60°=332.北京天梯志鸿教育科技有限责任公司9．B由x∈(0，π)且π2x时，(x－π2)f′(x)＞0可知：当x∈(0，π2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(π2，π)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．又∵x∈[0，π]时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，可画出f(x)的草图为：对于y＝f(x)－sinx的零点，可在同一坐标系中再作出y＝sinx的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.10．答案：22解析：把曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1化成直角坐标方程，得2x＋y＝1；把曲线C2：ρ＝a(a＞0)化成直角坐标方程，得x2＋y2＝a2.∵C1与C2的一个交点在极轴上，∴2x＋y＝1与x轴交点(22，0)在C2上，即(22)2＋0＝a2.又∵a＞0，∴22a.11．答案：7解析：由分数法计算可知最少实数次数为7.12．答案：{x|2≤x≤3}解析：∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0.∴2≤x≤3.13．答案：6.8解析：∵89101315115x，∴222222(811)(911)(1011)(1311)(1511)6.85s.14．答案：4解析：i＝1时，x＝4.5－1＝3.5；i＝1＋1＝2时，x＝3.5－1＝2.5；i＝2＋1＝3时，x＝2.5－1＝1.5；i＝3＋1＝4时，x＝1.5－1＝0.5；0．5＜1，输出i＝4.15．答案：18解析：∵过C作BD的平行线，延长AP交该平行线于点Q，则AQ＝2AP＝6.故||||cos,||||3618APACAPACAPACAPAQ.北京天梯志鸿教育科技有限责任公司16．答案：(1)3(2)2解析：(1)由题意知2＝1×2，b2＝1；4＝1×22，b4＝1；6＝1×22＋1×2，b6＝0；8＝1×23，b8＝1，所以b2＋b4＋b6＋b8＝3.(2)①若n为偶数，且bn＝0，则n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20中a0＝0，且ak，ak－1，…a1中有偶数个1，n＋1＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋1×20，bn＋1＝1n＋2＝am′×2m＋am－1′×2m－1＋…＋a1′×21＋0×20，若bn＋2＝0，此时cm＝1；若bn＋2＝1，则n＋3＝am′×2m＋am－1′×2m－1＋…＋a1′×21＋1×20，则bn＋3＝0，此时cm＝2.②若n为奇数，n＝ak×2k＋…＋1×20，且bn＝0，则n＋1＝am′×2m＋…＋a1′×21＋0×20，若bn＋1＝0，此时cm＝0.若bn＋1＝1，则n＋2＝am′×2m＋…＋a1′×21＋1×20，bn＋2＝0.此时，cm＝1.综上所述，cm的最大值为2.(注：也可列举连续的几项，作出猜测)17．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1151.5302252.5203101.9100(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得1153()10020PA，2303()10010PA，3251()1004PA.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝33172010410.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.18．解：(1)由题设图象知，周期11π5π2()π1212T，所以2π2T，因为点(5π12，0)在函数图象上，所以Asin(2×5π12＋φ)＝0，即